Точка в топологическом пространстве
проверено. значков много. страшно
Описание
Пусть — топологическое пространство,
— непустое подмножество,
— некоторая точка.
Определение 1. Говорят, что является внутренней точкой1) множества
, если существует окрестность
точки
, целиком лежащая в
:
. Множество внутренних точек2) множества
обозначают
.
Определение 2. Говорят, что является внешней точкой3) множества
, если существует окрестность
точки
, не пересекающаяся с множеством
:
или
. Множество внешних точек4) множества
обозначают
.
Определение 3. Говорят, что является граничной точкой5) множества
, если
не является ни внутренней точкой множества
, ни внутренней точкой множества
, то есть если для любой окрестности
точки
выполнено:
. Множество граничных точек называют также границей множества6)
и обозначают
.
Пример 1. Рассмотрим множество действительных чисел с обычной топологией. Тогда границей подмножества
рациональных чисел является
.
Определение 4. Говорят, что является точкой прикосновения7) множества
, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность
точки
имеет непустое пересечение с множеством
:
. Множество точек прикосновения называют также замыканием множества8)
и обозначают
.
Определение 5. Говорят, что является предельной точкой9) множества
, если для любой окрестности
точки
выполнено:
. Множество предельных точек10) множества
обозначают
.
Определение 6. Говорят, что является изолированной точкой11) множества
, если существует окрестность
точки
не содержащая других точек множества
:
. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством12).
Пример 2. Рассмотрим топологическое пространство и множество
. Тогда имеем:
- внутренние точки:
,
- граница множества:
,
- замыкание множества:
,
- предельные точки:
,
- дискретное множество:
.
Предложение 1. Пусть — топологическое пространство и
— подмножество
. Тогда
— наибольшее открытое множество, лежащее в
, то есть выполнено:
;
;
.
Следствие 1. — объединение всех открытых множеств, содержащихся в
.
Предложение 2. Пусть — топологическое пространство и
— подмножество
. Тогда
— наименьшее замкнутое множество, содержащее
, то есть выполнено:
;
;
.
Следствие 2. — пересечение всех замкнутых множеств, содержащих
.
Следствие 3. — замкнутое множество.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.