Точка в топологическом пространстве

проверено. значков много. страшно

Описание

Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство, $A\subseteq X$ — непустое подмножество, $x\in X$ — некоторая точка.

Определение 1. Говорят, что $ x $ является внутренней точкой1) множества $ A $, если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $ x $, целиком лежащая в $ A $: $x\in U_x\subseteq A$. Множество внутренних точек2) множества $ A $ обозначают $\textrm{Int}~A$.

Определение 2. Говорят, что $ x $ является внешней точкой3) множества $ A $, если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $ x $, не пересекающаяся с множеством $ A $: $U_x\cap A=\varnothing$ или $x\in U_x\subseteq X\backslash A$. Множество внешних точек4) множества $ A $ обозначают $\textrm{Ext}~A$.

Определение 3. Говорят, что $ x $ является граничной точкой5) множества $ A $, если $x$ не является ни внутренней точкой множества $ A $, ни внутренней точкой множества $X\backslash A$, то есть если для любой окрестности $U_x\in\tau$ точки $ x $ выполнено: $(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)$. Множество граничных точек называют также границей множества6) $ A $ и обозначают $\textrm{Fr}~A$.

Пример 1. Рассмотрим множество действительных чисел $\mathbb{R}$ с обычной топологией. Тогда границей подмножества $\mathbb{Q}$ рациональных чисел является $\mathbb{R}$.

Определение 4. Говорят, что $ x $ является точкой прикосновения7) множества $ A $, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность $U_x\in\tau$ точки $ x $ имеет непустое пересечение с множеством $ A $: $U_x\cap A\neq\varnothing$. Множество точек прикосновения называют также замыканием множества8) $ A $ и обозначают $\overline{A}$.

Определение 5. Говорят, что $ x $ является предельной точкой9) множества $ A $, если для любой окрестности $U_x\in\tau$ точки $ x $ выполнено: $(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing$. Множество предельных точек10) множества $ A $ обозначают $A'$.

Определение 6. Говорят, что $ x $ является изолированной точкой11) множества $ A $, если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $ x $ не содержащая других точек множества $ A $: $U_x\cap A=\{x\}$. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством12).

Пример 2. Рассмотрим топологическое пространство $(\mathbb{R},\tau_U)$ и множество $A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1)$. Тогда имеем:

  1. внутренние точки: $\textrm{Int}~A=(0,1)$,
  2. граница множества: $\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\}$,
  3. замыкание множества: $\overline{A}=A\cup\{1\}$,
  4. предельные точки: $A'=[0,1]$,
  5. дискретное множество: $\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}$.

Предложение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $ A $ — подмножество $ X $. Тогда $\textrm{Int}~A$ — наибольшее открытое множество, лежащее в $ A $, то есть выполнено:

  1. $\textrm{Int}~A\in\tau$;
  2. $\textrm{Int}~A\subseteq A$;
  3. $(B\in\tau)\wedge(B\subseteq A)\Rightarrow B\subseteq\textrm{Int}~A$.

Следствие 1. $\textrm{Int}~A=\underset{U\in\tau,U\subseteq A}{\bigcup}U$ — объединение всех открытых множеств, содержащихся в $ A $.

Предложение 2. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $ A $ — подмножество $ X $. Тогда $\overline{A}$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $ A $, то есть выполнено:

  1. $\overline{A}\in\mathcal{F}$;
  2. $A\subseteq\overline{A}$;
  3. $(B\in\mathcal{F})\wedge(A\subseteq B)\Rightarrow \overline{A}\subseteq B$.

Следствие 2. $\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F$ — пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $ A $.

Следствие 3. $\textrm{Fr}~A=\overline{A}\cap\overline{X\backslash A}$ — замкнутое множество.

Литература

1) inner point, interior point
2) interior of set
3) outside point, exterior point
4) exterior
5) frontier point
6) frontier of set
7) adherent point, closure point, point of closure
8) closure of set
9) accumulation point, limit point
10) cluster set
11) isolated point
12) discrete set
glossary/topology/point.txt · Последние изменения: 28.09.2013 15:08:53 — master
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0