Содержание

Точка в топологическом пространстве
- Описание
- Литература

Точка в топологическом пространстве

проверено. значков много. страшно

Описание

Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $A\subseteq X$ — непустое подмножество, $x\in X$ — некоторая точка.

Определение 1. Говорят, что $x$ является внутренней точкой¹⁾ множества $A$ , если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $x$ , целиком лежащая в $A$ : $x\in U_x\subseteq A$ . Множество внутренних точек²⁾ множества $A$ обозначают $\textrm{Int}~A$ .

Определение 2. Говорят, что $x$ является внешней точкой³⁾ множества $A$ , если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $x$ , не пересекающаяся с множеством $A$ : $U_x\cap A=\varnothing$ или $x\in U_x\subseteq X\backslash A$ . Множество внешних точек⁴⁾ множества $A$ обозначают $\textrm{Ext}~A$ .

Определение 3. Говорят, что $x$ является граничной точкой⁵⁾ множества $A$ , если $x$ не является ни внутренней точкой множества $A$ , ни внутренней точкой множества $X\backslash A$ , то есть если для любой окрестности $U_x\in\tau$ точки $x$ выполнено: $(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)$ . Множество граничных точек называют также границей множества⁶⁾ $A$ и обозначают $\textrm{Fr}~A$ .

Пример 1. Рассмотрим множество действительных чисел $\mathbb{R}$ с обычной топологией. Тогда границей подмножества $\mathbb{Q}$ рациональных чисел является $\mathbb{R}$ .

Определение 4. Говорят, что $x$ является точкой прикосновения⁷⁾ множества $A$ , если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность $U_x\in\tau$ точки $x$ имеет непустое пересечение с множеством $A$ : $U_x\cap A\neq\varnothing$ . Множество точек прикосновения называют также замыканием множества⁸⁾ $A$ и обозначают $\overline{A}$ .

Определение 5. Говорят, что $x$ является предельной точкой⁹⁾ множества $A$ , если для любой окрестности $U_x\in\tau$ точки $x$ выполнено: $(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing$ . Множество предельных точек¹⁰⁾ множества $A$ обозначают $A'$ .

Определение 6. Говорят, что $x$ является изолированной точкой¹¹⁾ множества $A$ , если существует окрестность $U_x\in\tau$ точки $x$ не содержащая других точек множества $A$ : $U_x\cap A=\{x\}$ . Множество, состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством¹²⁾.

Пример 2. Рассмотрим топологическое пространство $(\mathbb{R},\tau_U)$ и множество $A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1)$ . Тогда имеем:

внутренние точки: $\textrm{Int}~A=(0,1)$ ,
граница множества: $\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\}$ ,
замыкание множества: $\overline{A}=A\cup\{1\}$ ,
предельные точки: $A'=[0,1]$ ,
дискретное множество: $\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}$ .

Предложение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $A$ — подмножество $X$ . Тогда $\textrm{Int}~A$ — наибольшее открытое множество, лежащее в $A$ , то есть выполнено:

$\textrm{Int}~A\in\tau$ ;
$\textrm{Int}~A\subseteq A$ ;
$(B\in\tau)\wedge(B\subseteq A)\Rightarrow B\subseteq\textrm{Int}~A$ .

Следствие 1. $\textrm{Int}~A=\underset{U\in\tau,U\subseteq A}{\bigcup}U$ — объединение всех открытых множеств, содержащихся в $A$ .

Предложение 2. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $A$ — подмножество $X$ . Тогда $\overline{A}$ — наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$ , то есть выполнено:

$\overline{A}\in\mathcal{F}$ ;
$A\subseteq\overline{A}$ ;
$(B\in\mathcal{F})\wedge(A\subseteq B)\Rightarrow \overline{A}\subseteq B$ .

Следствие 2. $\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F$ — пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $A$ .

Следствие 3. $\textrm{Fr}~A=\overline{A}\cap\overline{X\backslash A}$ — замкнутое множество.

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

топология, внешняя точка, внутренняя точка, граница множества, граничная точка, дискретное множество, замыкание множества, изолированная точка, предельная точка, топологическое пространство, точка прикосновения

¹⁾

inner point, interior point

²⁾

interior of set

³⁾

outside point, exterior point

⁴⁾

exterior

⁵⁾

frontier point

⁶⁾

frontier of set

⁷⁾

adherent point, closure point, point of closure

⁸⁾

closure of set

⁹⁾

accumulation point, limit point

¹⁰⁾

cluster set

¹¹⁾

isolated point

¹²⁾

discrete set

glossary/topology/point.txt · Последние изменения: 28.09.2013 11:08:53 — Администратор

Наверх