Двойственное векторное пространство

Определение

Пусть $V$векторное пространство над полем $F$.

Определение 1. Двойственным векторным пространством1) к $V$ называется векторное пространство линейных функционалов $\textrm{Hom}_F(V,F)$2), то есть множество линейных функционалов $\varphi\colon V\rightarrow F$, с операциями сложения и умножения на скаляр, определенными формулами:

  1. $(\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v)$ для всех $v\in V$;
  2. $(\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v))$ для всех $v\in V$.

Двойственное пространство к пространству $ V $ обозначают через $V^*$. Таким образом, $V^*=\textrm{Hom}_F(V,F)$.

Замечание 1. Отображение $V^*\times V\rightarrow F$ такое, что $(\varphi,v)=\varphi(v)$ для всех $\varphi\in V^*$ и $v\in V$ является спариванием между $V^*$ и $V$.

Двойственный базис

Предложение 1. Пусть $ V $ — векторное пространство размерности $ n $ с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$. Тогда линейные функционалы $e^1,e^2,\ldots,e^n$, определенные соотношением

$e^i(e_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1,\quad i=j\\0,\quad i\neq j\end{cases}$,

образуют базис $V^*$.

Определение 2. Базис $\{e^1,\ldots,e^n\}$ пространства $V^*$, указанный в формулировке предложения 1, называется двойственным3) к базису $\{e_1,\ldots,e_n\}$ пространства $ V $.

Литература

1) dual vector space
3) dual basis
glossary/space/linear/dual.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:13:30 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0