Двойственное векторное пространство
Определение
Пусть — векторное пространство над полем
.
Определение 1. Двойственным векторным пространством1) к называется векторное пространство линейных функционалов
2), то есть множество линейных функционалов
, с операциями сложения и умножения на скаляр, определенными формулами:
для всех
;
для всех
.
Двойственное пространство к пространству обозначают через
. Таким образом,
.
Замечание 1. Отображение такое, что
для всех
и
является спариванием между
и
.
Двойственный базис
Предложение 1. Пусть — векторное пространство размерности
с базисом
. Тогда линейные функционалы
, определенные соотношением
,
образуют базис .
Определение 2. Базис пространства
, указанный в формулировке предложения 1, называется двойственным3) к базису
пространства
.