Двойственное векторное пространство

Определение

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ .

Определение 1. Двойственным векторным пространством¹⁾ к $V$ называется векторное пространство линейных функционалов $\textrm{Hom}_F(V,F)$ ²⁾, то есть множество линейных функционалов $\varphi\colon V\rightarrow F$ , с операциями сложения и умножения на скаляр, определенными формулами:

$(\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v)$ для всех $v\in V$ ;
$(\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v))$ для всех $v\in V$ .

Двойственное пространство к пространству $V$ обозначают через $V^*$ . Таким образом, $V^*=\textrm{Hom}_F(V,F)$ .

Замечание 1. Отображение $V^*\times V\rightarrow F$ такое, что $(\varphi,v)=\varphi(v)$ для всех $\varphi\in V^*$ и $v\in V$ является спариванием между $V^*$ и $V$ .

Двойственный базис

Предложение 1. Пусть $V$ — векторное пространство размерности $n$ с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$ . Тогда линейные функционалы $e^1,e^2,\ldots,e^n$ , определенные соотношением

$e^i(e_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1,\quad i=j\\0,\quad i\neq j\end{cases}$ ,

образуют базис $V^*$ .

Определение 2. Базис $\{e^1,\ldots,e^n\}$ пространства $V^*$ , указанный в формулировке предложения 1, называется двойственным³⁾ к базису $\{e_1,\ldots,e_n\}$ пространства $V$ .

Литература

линейная алгебра, векторное пространство, двойственное пространство, двойственный базис

¹⁾

dual vector space

²⁾

см. предложение 5

³⁾

dual basis

glossary/space/linear/dual.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:13:30 — Ладилова Анна

Наверх