Пусть — ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом .
Определение 1. Пусть — -кратное тензорное произведение и — гомоморфизм -модулей, определенный формулой
.
называется стандартным комплексом1) алгебры .
Предложение 1. Если — проективный -модуль и — умножение в , то пара — левая резольвента модуля , то есть точна последовательность
.
Определение 2. Гомологии стандартного комплекса алгебры называют гомологиями ассоциативной -алгебры2) и обозначают .