Точная последовательность модулей
Определение
Пусть — ассоциативное кольцо и
— модули1) над
.
Определение 1. Последовательность -модулей и их гомоморфизмов
называется точной в члене2)
, если
.
Определение 2. Последовательность -модулей и их гомоморфизмов
называется точной3), если она точна в каждом члене.
Предложение 1. Последовательность вида точна тогда и только тогда, когда
— мономорфизм модулей.
Предложение 2. Последовательность вида точна тогда и только тогда, когда
— эпиморфизм модулей.
Определение 3. Точная последовательность -модулей
называется короткой точной последовательностью4). При этом модуль
называется расширением5)
при помощи
.
Определение 4. Короткая точная последовательность -модулей
называется расщепляемой6), если
выделяется прямым слагаемым в
.
Литература
- Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.
1)
левые, правые или бимодули
2)
exact for
3)
exact sequence
4)
short exact sequence
5)
extension of module
6)
splittable