Содержание
Проективный модуль
Определение проективного модуля
Пусть — ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Модуль1) над кольцом
называется проективным2), если для любого гомоморфизма
-модулей3)
и любого сюръективного гомоморфизма
-модулей
существует гомоморфизм
-модулей
такой, что
, то есть коммутативна диаграмма
Свойства проективных модулей
Предложение 1. Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.
Предложение 2. Модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного модуля.
Предложение 3. Для любого модуля существует точная последовательность
с проективным модулем
.
Предложение 4. Модуль проективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность модулей
расщепляема.
Примеры
- Ассоциативное кольцо
можно рассматривать как левый модуль над собой. Тогда
является проективным левым модулем. Для произвольной точной последовательности
и любого гомоморфизма левых
-модулей
можно задать гомоморфизм
по правилу
, где
.
Литература
- Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.