Проективный модуль

Определение проективного модуля

Пусть $ A $ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Модуль1) $ P $ над кольцом $ A $ называется проективным2), если для любого гомоморфизма $ A $-модулей3) $f:P\rightarrow M''$ и любого сюръективного гомоморфизма $ A $-модулей $g:M\rightarrow M''$ существует гомоморфизм $ A $-модулей $h:P\rightarrow M$ такой, что $f=g\circ h$, то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram} \node[3]{P}\arrow[2]{s,r}{f}\arrow[2]{sw,l}{h}\\ \\ \node{M}\arrow[2]{e,b}{g}\node[2]{M''}\arrow[2]{e}\node[2]{0.}\end{diagram}$

Свойства проективных модулей

Предложение 1. Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

Предложение 2. Модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного модуля.

Предложение 3. Для любого модуля $ M $ существует точная последовательность $0\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow M\rightarrow 0$ с проективным модулем $ P $.

Предложение 4. Модуль $ P $ проективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность модулей $0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow P\rightarrow 0$ расщепляема.

Примеры

  • Ассоциативное кольцо $ A $ можно рассматривать как левый модуль над собой. Тогда $ A $ является проективным левым модулем. Для произвольной точной последовательности $M\xrightarrow{g} M''\rightarrow 0$ и любого гомоморфизма левых $ A $-модулей $f:A\rightarrow M''$ можно задать гомоморфизм $h:A\rightarrow M$ по правилу $h(1)=m$, где $g(m)=f(1)$.

Литература

1) левый или правый
2) projective module
3) левых или правых, соответственно
glossary/module/projective/left.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:50:23 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0