Связное топологическое пространство
Пусть — топологическое пространство.
Определение 1. Будем говорить, что связное1) топологическое пространство, если одновременно открытыми и замкнутыми в нем являются лишь и :
.
Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:
- связное топологическое пространство
- нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных открытых подмножеств:
- нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных замкнутых подмножеств:
Пример 1. Пусть , — дискретная топология на и — топология связного двоеточия. Тогда — не связное, а — связное.
Определение 2. Непустое подмножество топологического пространства называется связным, если подпространство является связным топологическим пространством.
Предложение 2. Пусть и — топологические пространства, а — непрерывное и сюръективное отображение. Тогда если связное топологическое пространство, то также связное топологическое пространство.
Предложение 3. Замыкание непустого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.
Предложение 4. Объединение связных подмножеств топологического пространства , имеющих непустое пересечение является связным подмножеством.
Определение 3. Пусть — топологическое пространство и — его точка. Обозначим через наибольшее связное подмножество в , содержащее и будем называть его компонентой связности точки 2).
Замечание 1. Предложение 4
гарантирует существование компоненты связности для любой точки топологического пространства.
Предложение 5. Пусть — топологическое пространство и . Тогда либо , либо .
Замечание 2. На можно задать отношение эквивалентности, а именно, тогда и только тогда, когда .