Моноидная алгебра

Описание

Определение 1. Моноидной алгеброй¹⁾ моноида $M$ над коммутативным кольцом с единицей $R$ называется алгебра $R[M]$ , базисные элементы которой занумерованы элементами моноида $M$ , причем произведение базисных элементов с номерами $g,h\in M$ есть базисный элемент с номером $gh$ . Обычно базисные элементы алгебры $R[M]$ отождествляются с элементами моноида $M$ . Тогда всякий элемент алгебры $R[M]$ записывается в виде $r=\underset{m\in M}{\sum}r_mm~(r_m\in R)$ .

Пример 1. Кольцо многочленов $F[X]$ над полем $F$ является моноидной алгеброй.

Определение 2. В случае, когда моноид $M$ является группой, соответствующую алгебру $R[M]$ называют групповой алгеброй²⁾.

Пример 2. Пусть $G$ — мультипликативная группа, порожденная элементом $x$ бесконечного порядка, $R$ — коммутативное кольцо с единицей, тогда $R[G]=R[x,x^{-1}]$ ³⁾, где $R[x,x^{-1}]$ — кольцо многочленов, порожденное множеством $S=\{x,x^{-1}\}$ , является групповой алгеброй

Теорема Машке

Теорема 1. Пусть $G$ — конечная группа порядка $\textrm{ord}\thickspace G$ , $F$ — поле характеристики 0 или конечной характеристики $p\nmid\textrm{ord}\thickspace G$ . Тогда групповая алгебра $F[G]$ полупроста.

Пример 3. Пусть $G$ — конечная группа порядка $\textrm{ord}\thickspace G$ и поле $F$ имеет характеристику $p$ , делящую $\textrm{ord}\thickspace G$ . Рассмотрим элемент $a=\underset{g\in G}{\sum}g\in F[G]$ . Тогда $a\neq 0$ и лежит в центре алгебры $F[G]$ . Из кратности порядка группы характеристике поля следует, что $a^2=(\textrm{ord}\thickspace G)a=0$ и идеал $F[G]a$ нильпотентный. Таким образом $F[G]$ не может быть полупростой.