Морфизм окольцованных пространств

Определение

Морфизм локально окольцованных пространств

Пусть $(\varphi,\varphi^{\sharp})$ — морфизм окольцованных пространств $(X,\mathcal{O}_X)$ и $(Y,\mathcal{O}_Y)$.

Для каждой точки $P\in X$ морфизм пучков $\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\rightarrow \varphi_*\mathcal{O}_{X}$ индуцирует отображение $\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}$:

$\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}=\varinjlim_{U\ni\varphi(P)}\mathcal{O}_Y(U)\stackrel{\psi}{\rightarrow}\varinjlim_{\varphi^{-1}(U)\ni P}\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))\stackrel{\pi}{\rightarrow}\varinjlim_{V\ni P}\mathcal{O}_X(V)=\mathcal{O}_{X,P}$,

где $\pi$ — отображение проекции, а $\psi$гомоморфизм колец, делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{\mathcal{O}_Y(U)}\arrow[2]{e,t}{\varphi^{\sharp}(U)}\arrow{s}\node[2]{\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))}\arrow{s}\\\node{\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}}\arrow[2]{e,b}{\psi}\node[2]{(\varphi_*\mathcal{O}_X)_{\varphi(P)}}\end{diagram}$

для каждого открытого множества $U\subseteq Y$, $\varphi(P)\in U$.

Определение 2. Морфизмом локально окольцованных пространств $(X,\mathcal{O}_X)$ и $(Y,\mathcal{O}_Y)$ называется такой морфизм окольцованных пространств $(\varphi,\varphi^{\sharp})$, что для любого $P\in X$ гомоморфизм колец $\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}$ удовлетворяет условию

$\mathfrak{m}_{\varphi(P)}=(\varphi^{\sharp}_P)^{-1}(\mathfrak{m}_P)$,

где $\mathfrak{m}_P$ и $\mathfrak{m}_{\varphi(P)}$максимальные идеалы $\mathcal{O}_{X,P}$ и $\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}$, соответственно.

Литература

1) morphism of ringed space
2) Здесь пучок $\varphi_*\mathcal{O}_{X}$ на $Y$ — это прямой образ пучка $\mathcal{O}_{X}$ на $X$.
glossary/topology/space/ringed/morphism.txt · Последние изменения: 07.10.2011 21:30:39 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0