Морфизм окольцованных пространств

Определение

Определение 1. Морфизмом окольцованных пространств¹⁾ $(X,\mathcal{O}_X)$ и $(Y,\mathcal{O}_Y)$ называется пара $(\varphi,\varphi^{\sharp})$ , где $\varphi\colon X\rightarrow Y$ — непрерывное отображение, $\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\rightarrow \varphi_*\mathcal{O}_{X}$ — морфизм пучков на топологическом пространстве $Y$ .²⁾

Морфизм локально окольцованных пространств

Пусть $(\varphi,\varphi^{\sharp})$ — морфизм окольцованных пространств $(X,\mathcal{O}_X)$ и $(Y,\mathcal{O}_Y)$ .

Для каждой точки $P\in X$ морфизм пучков $\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\rightarrow \varphi_*\mathcal{O}_{X}$ индуцирует отображение $\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}$ :

$\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}=\varinjlim_{U\ni\varphi(P)}\mathcal{O}_Y(U)\stackrel{\psi}{\rightarrow}\varinjlim_{\varphi^{-1}(U)\ni P}\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))\stackrel{\pi}{\rightarrow}\varinjlim_{V\ni P}\mathcal{O}_X(V)=\mathcal{O}_{X,P}$ ,

где $\pi$ — отображение проекции, а $\psi$ — гомоморфизм колец, делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{\mathcal{O}_Y(U)}\arrow[2]{e,t}{\varphi^{\sharp}(U)}\arrow{s}\node[2]{\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))}\arrow{s}\\\node{\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}}\arrow[2]{e,b}{\psi}\node[2]{(\varphi_*\mathcal{O}_X)_{\varphi(P)}}\end{diagram}$

для каждого открытого множества $U\subseteq Y$ , $\varphi(P)\in U$ .

Определение 2. Морфизмом локально окольцованных пространств $(X,\mathcal{O}_X)$ и $(Y,\mathcal{O}_Y)$ называется такой морфизм окольцованных пространств $(\varphi,\varphi^{\sharp})$ , что для любого $P\in X$ гомоморфизм колец $\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}$ удовлетворяет условию

$\mathfrak{m}_{\varphi(P)}=(\varphi^{\sharp}_P)^{-1}(\mathfrak{m}_P)$ ,