Ряд Фурье

проверено

Определение

Определение 1. Пусть $L $линейное нормированное пространство, где норма определена скалярным произведением, $\{ e_i \}_{i=1}^{\infty}$счетная ортогональная система векторов в $L $. Тогда любому $x \in L $ можно сопоставить ряд $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}} \dfrac{(x,e_i)}{(e_i,e_i)} e_i $. Этот ряд называется рядом Фурье1) для вектора $x $ по ортогональной системе векторов $\{ e_i \}_{i=1}^{\infty}$.

Пример 1. Рассмотрим пространство непрерывных функций $R([-\pi,\pi])$ на отрезке $[ -\pi, \pi ]$ со скалярным произведением $(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\textrm{d}x$. В качестве ортогональной системы возьмем $\{ 1, \cos nx, \sin nx \}$. Тогда ряд Фурье для $f \in R([-\pi,\pi])$ имеет вид $\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\textrm{d}x+\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}} ( \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos kt~\textrm{d}t \cos kx+\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin kt~\textrm{d}t \sin kx)$.

Литература

1) Fourier series
glossary/series/fourier.txt · Последние изменения: 09.01.2011 22:20:29 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0