Содержание
Мощность множества
проверено
Равномощные множества
Определение 1. Будем говорить, что множество равномощно1) множеству , если существует биективное отображение .
Предложение 1. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.
Пример 1. Сопоставим каждому натуральному числу число , что определяет взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством четных натуральных чисел. То есть множество равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.
Определение 2. Класс эквивалентности множества называется мощностью2) и обозначается через или .
Пример 2. Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.
Определение 3. Будем говорить, что мощность множества меньше либо равна мощности множества , и писать , если существует инъективное отображение .
Теорема (Кантора-Бернштейна). Если для множеств и имеем и , то .
Определение 4. Если множество равномощно множеству натуральных чисел, то называется счетным3).
Пример 2. Множество алгебраических чисел счетно.
Литература
- Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.
- Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.