Мощность множества

проверено

Равномощные множества

Определение 1. Будем говорить, что множество $A$ равномощно¹⁾ множеству $B$ , если существует биективное отображение $A\rightarrow B$ .

Предложение 1. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.

Пример 1. Сопоставим каждому натуральному числу $n$ число $2n$ , что определяет взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством четных натуральных чисел. То есть множество $\mathbb{N}$ равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.

Определение 2. Класс эквивалентности множества $A$ называется мощностью²⁾ $A$ и обозначается через $\vert A\vert$ или $\textrm{card}~A$ .

Пример 2. Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.

Определение 3. Будем говорить, что мощность множества $A$ меньше либо равна мощности множества $B$ , и писать $|A|\leqslant|B|$ , если существует инъективное отображение $A\rightarrow B$ .