Определитель и след линейного оператора
проверено
Определение
Пусть — линейный оператор с матрицей
в некотором фиксированном базисе
векторного пространства
над полем
.
Определение 1. Определителем1) линейного оператора
называется определитель матрицы
.
Определение 2. Следом2) линейного оператора
называется след матрицы
.
Предложение 1. Пусть — характеристический многочлен оператора
. Тогда
,
.
Следствие 1. Определитель и след линейного оператора не зависят от выбора базиса пространства
.
Пример 1. Определитель и след нулевого линейного оператора равны нулю.
Пример 2. Определитель тождественного линейного оператора на -мерном векторном пространстве
равен
, а его след равен
.
Предложение 2. Отображение , которое каждому эндоморфизму
ставит в соответствие его след
, линейно.