Определитель и след линейного оператора

проверено

Определение

Пусть $\varphi:V\rightarrow V$линейный оператор с матрицей $A_{\varphi}$ в некотором фиксированном базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ векторного пространства $ V $ над полем $ F $.

Определение 1. Определителем1) $\textrm{det}~\varphi$ линейного оператора $\varphi$ называется определитель матрицы $A_{\varphi}$.

Определение 2. Следом2) $\textrm{tr}~\varphi$ линейного оператора $\varphi$ называется след матрицы $A_{\varphi}$.

Предложение 1. Пусть $\chi_{\varphi}(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t+a_0$характеристический многочлен оператора $\varphi$. Тогда

  1. $\textrm{tr}~\varphi=-a_{n-1}$,
  2. $\textrm{det}~\varphi=(-1)^na_0$.

Следствие 1. Определитель и след линейного оператора $\varphi$ не зависят от выбора базиса пространства $ V $.

Пример 1. Определитель и след нулевого линейного оператора равны нулю.

Пример 2. Определитель тождественного линейного оператора на $ n $-мерном векторном пространстве $ V $ равен $\textrm{det}~\textrm{id}_V=1$, а его след равен $\textrm{tr}~\textrm{id}_V=n$.

Предложение 2. Отображение $\textrm{tr}\colon\textrm{End}~V\rightarrow F$, которое каждому эндоморфизму $\varphi\in\textrm{End}~V$ ставит в соответствие его след $\textrm{tr}\varphi$, линейно.

Литература

1) determinant of linear operator
2) trace of linear operator
glossary/operator/linear/characteristic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:15:09 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0