Содержание
Морфизм комплексов
Морфизм комплексов
Пусть — ассоциативное кольцо,
и
— комплексы модулей1) над кольцом
.
Определение 1. Морфизмом комплексов2) называется набор гомоморфизмов
-модулей
, удовлетворяющих условию
для всех
, иначе говоря, делающих коммутативной диаграмму
.
Предложение 1. Морфизм комплексов индуцирует гомоморфизм групп гомологий
. Этот гомоморфизм классу
ставит в соответствие класс
.
Определение 2. Морфизм комплексов называется квазиизоморфизмом3) (эквивалентностью, гомологизмом) если индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом.
Гомотопия
Определение 3. Пусть и
— морфизмы из комплекса
в комплекс
. Говорят, что морфизмы
и
гомотопны4), если существует набор гомоморфизмов
-модулей
,
таких, что
для каждого
. При этом набор
называют гомотопией5), связывающей
с
.
Предложение 2. Гомотопия — отношение эквивалентности на множестве морфизмов из комплекса в комплекс
.
Предложение 3. Если гомотопны, то
.
Длинная точная гомологическая последовательность
Пусть
— короткая точная последовательность комплексов -модулей, то есть такая, что для каждого
последовательность
— короткая точная последовательность -модулей.
Предложение 4. Последовательность
,
называемая длинной гомологической последовательностью6), точна. Отобржения и
индуцированы отображениями
и
, соответственно:
для
и
для
.
Отображение называется связывающим гомоморфизмом7) и определяется следующим образом: пусть элемент
таков, что
, тогда для класса
.