Содержание

Морфизм комплексов

Морфизм комплексов

Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, $C$ и $C'$ — комплексы модулей¹⁾ над кольцом $R$ .

Определение 1. Морфизмом комплексов²⁾ $f\colon C\rightarrow C'$ называется набор гомоморфизмов $R$ -модулей $f_n\colon C_n\rightarrow C'_n$ , удовлетворяющих условию $f_{n-1}\circ d_n=d'_n\circ f_n$ для всех $n\in\mathbb{Z}$ , иначе говоря, делающих коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{\ldots}\arrow{e,t}{d_{n+1}}\node{C_n}\arrow{e,t}{d_n}\arrow{s,l}{f_n}\node{C_{n-1}}\arrow{e,t}{d_{n-1}}\arrow{s,r}{f_{n-1}}\node{\ldots}\\\node{\ldots}\arrow{e,t}{d'_{n+1}}\node{C'_n}\arrow{e,t}{d'_n}\node{C'_{n-1}}\arrow{e,t}{d'_{n-1}}\node{\ldots}\end{diagram}$ .

Предложение 1. Морфизм комплексов $f\colon C\rightarrow C'$ индуцирует гомоморфизм групп гомологий $f_*\colon H(C)\rightarrow H(C')$ . Этот гомоморфизм классу $\overline{c}\in Z_n/B_n=H_n(C)$ ставит в соответствие класс $\overline{f_n(c)}\in H_n(C')$ .

Определение 2. Морфизм комплексов называется квазиизоморфизмом³⁾ (эквивалентностью, гомологизмом) если индуцированный гомоморфизм $f_*$ является изоморфизмом.

Гомотопия

Определение 3. Пусть $f$ и $g$ — морфизмы из комплекса $C$ в комплекс $C'$ . Говорят, что морфизмы $f$ и $g$ гомотопны⁴⁾, если существует набор гомоморфизмов $R$ -модулей $h_n\colon C_n\rightarrow C'_{n+1}$ , $n\in\mathbb{Z}$ таких, что $d'_n\circ h_n+h_{n-1}\circ d_n=f_n-g_n$ для каждого $n$ . При этом набор $h=\{h_n\}$ называют гомотопией⁵⁾, связывающей $g$ с $f$ .

Предложение 2. Гомотопия — отношение эквивалентности на множестве морфизмов из комплекса $C$ в комплекс $C'$ .

Предложение 3. Если $f,g\colon C\rightarrow C'$ гомотопны, то $f_*=g_*$ .

Длинная точная гомологическая последовательность

Пусть

$0\rightarrow C'\stackrel{\tau}{\rightarrow}C\stackrel{\lambda}{\rightarrow}C''\rightarrow 0$

— короткая точная последовательность комплексов $R$ -модулей, то есть такая, что для каждого $n$ последовательность

$0\rightarrow C'_n\stackrel{\tau_n}{\rightarrow}C_n\stackrel{\lambda_n}{\rightarrow}C''_n\rightarrow 0$

— короткая точная последовательность $R$ -модулей.

Предложение 4. Последовательность

$\ldots\rightarrow H_n(C')\stackrel{\tau_n}{\rightarrow}H_n(C)\stackrel{\lambda_n}{\rightarrow}H_n(C'')\stackrel{\partial_n}{\rightarrow} H_{n-1}(C')\rightarrow\ldots$ ,

называемая длинной гомологической последовательностью⁶⁾, точна. Отобржения $\tau_n\colon H_n(C')\rightarrow H_n(C)$ и $\lambda_n\colon H_n(C)\rightarrow H_n(C'')$ индуцированы отображениями $\tau_n$ и $\lambda_n$ , соответственно:

$\tau_n(\overline{c'})=\overline{\tau_n(c')}$ для $c'\in C'_{n}$ и $\lambda_n(\overline{c})=\overline{\lambda_n(c)}$ для $c\in C_n$ .

Отображение $\partial_n$ называется связывающим гомоморфизмом⁷⁾ и определяется следующим образом: пусть элемент $c\in C_n$ таков, что $\lambda_n(c)=c''$ , тогда для класса $\overline{c''}\in H_n(C'')$

$\partial_n(\overline{c''})=\overline{d_n(c)}$ .

Литература

гомологическая алгебра, группа гомологий, комплекс, связывающий гомоморфизм

¹⁾

левых, правых или бимодулей

²⁾

morphism of complexes

³⁾

quasi-isomorphism

⁴⁾

homotopic

⁵⁾

homotopy

⁶⁾

long homology sequence

⁷⁾

boundary map

glossary/homology/complex/morphism.txt · Последние изменения: 10.02.2012 07:18:23 — Ладилова Анна

Наверх