Содержание
Скалярное произведение векторов в пространстве
Определение скалярного произведения
Определение 2. Скалярным произведением1) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и
обозначается
. Таким образом,
,
где — угол между векторами
и
.
Свойства скалярного произведения
Предложение 1. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
- Коммутативность:
для любых векторов
и
.
- Ассоциативность:
для любого действительного чиспа
и любых векторов
и
.
- Дистрибутивность:
для любых векторов
,
и
.
- Положительная определенность:
для любого вектора
, причем
в том и только том случае, когда
.
Замечание 1. Выполнение условий предложения 1 означает, что операция является скалярным произведением в более общем смысле.
Предложение 2. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Предложение 3. Для любых ненулевых векторов и
- угол между
и
острый тогда и только тогда, когда
;
- угол между
и
тупой тогда и только тогда, когда
Предложение 4. Для любого вектора имеет место равенство
.
Скалярное произведение в декартовых координатах
Предложение 5. Пусть базисные векторы ,
,
ортогональны, тогда координаты вектора
в этом базисе находятся по формулам:
,
,
.
В частности, в ортонормированном базисе
,
,
.
Предложение 6. Векторы ,
,
, составляющие ортонормированный базис в декартовой системе координат, удовлетворяют следующим условиям:
,
,
,
,
Предложение 7. Пусть в декартовой системе координат и
, тогда их скалярное произведение находится по формуле:
.
Предложение 8. В декартовой системе координат длина вектора равна
.
Предложение 9. В декартовой системе координат угол между векторами
и
определяется формулой:
.