Скалярное произведение векторов в пространстве

Определение скалярного произведения

Определение 2. Скалярным произведением1) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ обозначается $(\mathbf{a},\mathbf{b})$. Таким образом,

$(\mathbf{a},\mathbf{b})=|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cos~\varphi$,

где $\varphi$ — угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

Свойства скалярного произведения

Предложение 1. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  1. Коммутативность: $(\mathbf{a},\mathbf{b})=(\mathbf{b},\mathbf{a})$ для любых векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
  2. Ассоциативность: $(\alpha\mathbf{a},\mathbf{b})=$$\alpha(\mathbf{a},\mathbf{b})$ для любого действительного чиспа $\alpha$ и любых векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
  3. Дистрибутивность: $(\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{c})=$$(\mathbf{a},\mathbf{c})+$$(\mathbf{b},\mathbf{c})$ для любых векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$.
  4. Положительная определенность: $(\mathbf{a},\mathbf{a})\geqslant 0$ для любого вектора $\mathbf{a}$, причем $(\mathbf{a},\mathbf{a})=0$ в том и только том случае, когда $\mathbf{a}=\mathbf{0}$.

Замечание 1. Выполнение условий предложения 1 означает, что операция $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ является скалярным произведением в более общем смысле.

Предложение 2. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Предложение 3. Для любых ненулевых векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$

  1. угол между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ острый тогда и только тогда, когда $(\mathbf{a},\mathbf{b})>0$;
  2. угол между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ тупой тогда и только тогда, когда $(\mathbf{a},\mathbf{b})<0$

Предложение 4. Для любого вектора $\mathbf{a}$ имеет место равенство $(\mathbf{a},\mathbf{a})=|\mathbf{a}|^2$.

Скалярное произведение в декартовых координатах

Предложение 5. Пусть базисные векторы $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ ортогональны, тогда координаты вектора $\mathbf{a}=\alpha_1\mathbf{e}_1+\alpha_2\mathbf{e}_2+\alpha_3\mathbf{e}_3$ в этом базисе находятся по формулам:

$\alpha_1 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_1)}{|\mathbf{e}_1|^2}$, $\alpha_2 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_2)}{|\mathbf{e}_2|^2}$, $\alpha_3 = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e}_3)}{|\mathbf{e}_3|^2}$.

В частности, в ортонормированном базисе

$\alpha_1 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_1)$, $\alpha_2 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_2)$, $\alpha_3 = (\mathbf{a},\mathbf{e}_3)$.

Предложение 6. Векторы $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$, составляющие ортонормированный базис в декартовой системе координат, удовлетворяют следующим условиям:

  1. $(\mathbf{i},\mathbf{i})=1$, $(\mathbf{j},\mathbf{j})=1$, $(\mathbf{k},\mathbf{k})=1$
  2. $(\mathbf{i},\mathbf{j})=0$, $(\mathbf{i},\mathbf{k})=0$, $(\mathbf{j},\mathbf{k})=0$

Предложение 7. Пусть в декартовой системе координат $\mathbf{a}=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}$ и $\mathbf{b}=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}$, тогда их скалярное произведение находится по формуле:

$(\mathbf{a},\mathbf{b})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.

Предложение 8. В декартовой системе координат длина вектора $\mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ равна

$|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Предложение 9. В декартовой системе координат угол $\varphi$ между векторами $\mathbf{a}=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}$ и $\mathbf{b}=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}$ определяется формулой:

$\cos~\varphi=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

См. также

Литература

1) scalar product
glossary/geometry/elementary/product/scalar.txt · Последние изменения: 26.05.2013 23:47:44 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0