Векторы в пространстве

Данная статья использует интуитивные понятия точки, прямой, плоскости, направления, и т.д., введенные в школьном курсе элементарной геометрии.

Свободный вектор

Определение 1. Геометрическим вектором1), или просто вектором2), называется направленный отрезок. Направление вектора отмечается стрелкой. Обозначаются геометрические векторы либо одной буквой латинского алфавита, например, вектор $\mathbf{a}$:  Вектор a либо двумя буквами, соответствующими начальной и конечной точкам вектора, например, вектор $\overline{AB}$:  Вектор AB Геометрический вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым.

Определение 2. Длиной3) геометрического вектора называется расстояние между его началом и концом. Длина вектора $\mathbf{a}$ обозначается через $|\mathbf{a}|$.

Определение 3. Геометрические векторы называются коллинеарными4), если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 4. Геометрические векторы называются компланарными5), если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение 5. Два геометрических вектора называются равными6), если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направления. Все нулевые векторы считаются равными.

Пример 1. Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{A'B'}$ на рисунке равны:  Векторы AB и A'B' равны. Говорят, что вектор $\overline{A'B'}$ получен переносом вектора $\overline{AB}$ в точку $A'$.

Предложение 1. Равенство геометрических векторов является отношением эквивалентности на множестве всех геометрических векторов.

Определение 6. Свободным вектором7), или также просто вектором называется класс равных геометрических векторов.

Замечание 1. Если нет необходимости различать два равных, но не совпадающих в пространстве вектора, то подразумевают, что речь идет о свободном векторе.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Определение 7. Суммой8) $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ называется вектор, начинающийся в начале вектора $\mathbf{a}$ и оканчивающийся в конце вектора $\mathbf{b}$, при условии, что вектор $\mathbf{b}$ отложен от конца вектора $\mathbf{a}$:  Сумма векторов Это правило сложения векторов называют правилом треугольника9).

Предложение 2. Сложение векторов обладает следующими свойствами:

  1. $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$ для любых двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$;
  2. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ для любых трех векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$;
  3. нулевой вектор $\mathbf{0}$10) обладает свойством $\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$;
  4. для каждого вектора $\mathbf{a}$ существует противоположный вектор $(-\mathbf{a})$, удовлетворяющий свойству $\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$.

Определение 8. Разностью $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ называется такой вектор $\mathbf{c}$, что $\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{a}$.  Разность векторов

Умножение вектора на число

Определение 9. Произведением $\alpha\mathbf{a}$ вектора $\mathbf{a}$ на вещественное число $\alpha$ называется вектор $\mathbf{b}$, удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора $\mathbf{b}$ равна $|\alpha|\cdot|\mathbf{a}|$;
  2. Вектор $\mathbf{b}$ коллинеарен вектору $\mathbf{a}$;
  3. Векторы $\mathbf{b}$ и $\mathbf{a}$ направлены одинаково, если $\alpha>0$ и противоположно, если $\alpha<0$.

Умножение вектора на число — это операция, сопоставляющая вектору $\mathbf{a}$ и числу $\alpha$ вектор $\alpha\mathbf{a}$. Геометрический смысл умножения вектора на число: при умножении вектора $\mathbf{a}$ на число $\alpha$ вектор растягивается11) в $\alpha$ раз.  Умножение вектора на число

Предложение 3. Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

  1. $\alpha(\beta\mathbf{a})=(\alpha\beta)\mathbf{a}$ для любых чисел $\alpha$ и $\beta$ и любого вектора $\mathbf{a}$;
  2. $\alpha(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\alpha\mathbf{a}+\alpha\mathbf{b}$ для любого числа $\alpha$ и векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$;
  3. $(\alpha+\beta)\mathbf{a}=\alpha\mathbf{a}+\beta\mathbf{a}$ для любых чисел $\alpha$ и $\beta$ и любого вектора $\mathbf{a}$.
  4. Умножение любого вектора на $1$ не меняет этого вектора: $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$.

Угол между векторами

Угол между векторами будем определять, отложив эти векторы от одной точки.

Определение 10. Два вектора называются ортогональными12), если угол между ними прямой.

См. также

Литература

1) geometric vector
2) vector
3) length
4) collinear vectors
5) coplanar vectors
6) are equal
7) free vector
8) sum
9) triangle rule of addition
10) Вектор, у которого начало совпадает с концом.
11) если $\alpha>1$ или сжимается, если $0<\alpha<1$
12) orthogonal
glossary/geometry/elementary/vector.txt · Последние изменения: 24.05.2013 23:11:03 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0