Содержание
Скалярное произведение
проверено. буква E смотрится странно
Скалярное произведение
Определение 1. Пусть — векторное пространство над полем
или
. Билинейная форма
называется скалярным произведением1), если выполнены условия:
- Симметричность:
для всех
;
- Положительная определенность:
для всех
, и обращается в нуль, лишь если
.
Часто для скалярного произведения векторов и
вместо
используют обозначение
или
.
Пример 1. На пространстве непрерывных функций можно задать скалярное произведение
.
Пример 2. На пространстве скалярное произведение задается формулой:
, где
и
— разложение векторов по стандартному базису
.
Евклидово пространство
Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем с фиксированным скалярным произведением
.
Пример 3. Пространство является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.
Определение 3. Пусть — евклидово пространство. Для любого
число
называется длиной, или нормой вектора
.
Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов из евклидова пространства
справедливо неравенство
.
Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке вещественнозначных функций3), неравенство Коши-Буняковского имеет вид
.
Определение 4. Векторы из евклидова пространства
называются ортогональными4), если
.