Содержание

Скалярное произведение

Скалярное произведение

проверено. буква E смотрится странно

Скалярное произведение

Определение 1. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F=\mathbb{Q}$ или $F=\mathbb{R}$ . Билинейная форма $\varphi\colon V\times V\rightarrow F$ называется скалярным произведением¹⁾, если выполнены условия:

Симметричность: $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ для всех $x,y\in V$ ;
Положительная определенность: $\varphi(x,x)\geqslant 0$ для всех $x\in V$ , и обращается в нуль, лишь если $x=0$ .

Часто для скалярного произведения векторов $x$ и $y$ вместо $\phi(x,y)$ используют обозначение $(x,y)$ или $x\cdot y$ .

Пример 1. На пространстве непрерывных функций $C^0[a,b]$ можно задать скалярное произведение $(f,g)=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x$ .

Пример 2. На пространстве $\mathbb{R}^n$ скалярное произведение задается формулой: $(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n$ , где $x=(x_1,\ldots,x_n)$ и $y=(y_1,\ldots,y_n)$ — разложение векторов по стандартному базису $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ .

Евклидово пространство

Определение 2. Евклидовым векторным пространством²⁾ называется векторное пространство над полем $\mathbb{R}$ с фиксированным скалярным произведением $(,)$ .

Пример 3. Пространство $\mathbb{R}^n$ является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.

Определение 3. Пусть $E$ — евклидово пространство. Для любого $v\in E$ число $\lVert v\rVert=\sqrt{(v,v)}$ называется длиной, или нормой вектора $v$ .

Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов $x,y$ из евклидова пространства $E$ справедливо неравенство
$|(x,y)|\leqslant \lVert x\rVert\cdot\lVert y\rVert$ .

Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке $[a,b]$ вещественнозначных функций³⁾, неравенство Коши-Буняковского имеет вид
$|\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x|\leqslant\sqrt{\int_{a}^{b}f^2(x)\textrm{d}x}\cdot\sqrt{\int_{a}^{b}g^2(x)\textrm{d}x}$ .

Определение 4. Векторы $x,y$ из евклидова пространства $E$ называются ортогональными⁴⁾, если $(x,y)=0$ .

См. также

Литература

линейная алгебра, векторное пространство, длина вектора, евклидово пространство, неравенство коши-буняковского, норма вектора, скалярное произведение

¹⁾

scalar product

²⁾

Euclidean space

³⁾

См. пример 1.

⁴⁾

orthogonal vectors

glossary/product/scalar.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:10:15 — Ладилова Анна

Наверх