Скалярное произведение

проверено. буква E смотрится странно

Скалярное произведение

Определение 1. Пусть $ V $векторное пространство над полем $F=\mathbb{Q}$ или $F=\mathbb{R}$. Билинейная форма $\varphi\colon V\times V\rightarrow F$ называется скалярным произведением1), если выполнены условия:

  1. Симметричность: $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$ для всех $x,y\in V$;
  2. Положительная определенность: $\varphi(x,x)\geqslant 0$ для всех $x\in V$, и обращается в нуль, лишь если $x=0$.

Часто для скалярного произведения векторов $ x $ и $ y $ вместо $\phi(x,y)$ используют обозначение $(x,y)$ или $x\cdot y$.

Пример 1. На пространстве непрерывных функций $C^0[a,b]$ можно задать скалярное произведение $(f,g)=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x$.

Пример 2. На пространстве $\mathbb{R}^n$ скалярное произведение задается формулой: $(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n$, где $x=(x_1,\ldots,x_n)$ и $y=(y_1,\ldots,y_n)$ — разложение векторов по стандартному базису $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$.

Евклидово пространство

Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем $\mathbb{R}$ с фиксированным скалярным произведением $(,)$.

Пример 3. Пространство $\mathbb{R}^n$ является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.

Определение 3. Пусть $ E $ — евклидово пространство. Для любого $v\in E$ число $\lVert v\rVert=\sqrt{(v,v)}$ называется длиной, или нормой вектора $ v $.

Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов $x,y$ из евклидова пространства $ E $ справедливо неравенство
$|(x,y)|\leqslant \lVert x\rVert\cdot\lVert y\rVert$.

Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке $[a,b]$ вещественнозначных функций3), неравенство Коши-Буняковского имеет вид
$|\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x|\leqslant\sqrt{\int_{a}^{b}f^2(x)\textrm{d}x}\cdot\sqrt{\int_{a}^{b}g^2(x)\textrm{d}x}$.

Определение 4. Векторы $x,y$ из евклидова пространства $ E $ называются ортогональными4), если $(x,y)=0$.

См. также

Литература

1) scalar product
2) Euclidean space
3) См. пример 1.
4) orthogonal vectors
glossary/product/scalar.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:10:15 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0