Линейные комбинации векторов в пространстве

Линейные комбинации векторов

Определение 1. Линейной комбинацией1) $n$ векторов $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

$\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n$,

где $\alpha_1,\ldots\alpha_n$ — любые вещественные числа.

Определение 2. Векторы $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ называются линейно зависимыми2), если найдутся такие вещественные числа $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ с этими числами обращается в нуль3), то есть имеет место равенство:

$\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}$.

Определение 3. Векторы $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ называются линейно независимыми4), если равенство нулю их линейной комбинации $\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n$ возможно лишь в случае, когда все числа $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ равны нулю.

Предложение 1. Если хотя бы один из векторов $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Предложение 2. Если среди $n$ векторов какие-либо $k$5) векторов являются линейно зависимыми, то и все $n$ векторов являются линейно зависимыми.

Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.

Линейная зависимость двух векторов

Предложение 4. Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Линейная зависимость трех векторов

Предложение 5. Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Линейная зависимость четырех векторов

Предложение 6. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базис в пространстве, на плоскости и на прямой

Определение 4. Базисом в пространстве6) называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение 5. Базисом на плоскости7) называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

Определение 6. Базисом на прямой8) называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 7. Пусть $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ — базис в пространстве. Если

$\mathbf{a}=\alpha_1\mathbf{e}_1+\alpha_2\mathbf{e}_2+\alpha_3\mathbf{e}_3$,

то говорят, что вектор $\mathbf{a}$ разложен по базису. Числа $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ называются координатами9) вектора $\mathbf{a}$ в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.

Предложение 7.

  1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
  2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.
  3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Предложение 8. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

См. также

Литература

1) linear combination
2) linear dependent
4) linear independent
6) basis of a space
7) basis of a plane
8) basis of a line
9) coordinates
glossary/geometry/elementary/linear-combinations.txt · Последние изменения: 26.05.2013 22:00:17 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0