Линейные комбинации векторов в пространстве

Определение 1. Линейной комбинацией¹⁾ векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

где — любые вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми²⁾, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с этими числами обращается в нуль³⁾, то есть имеет место равенство:

Определение 3. Векторы называются линейно независимыми⁴⁾, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Предложение 1. Если хотя бы один из векторов нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Предложение 2. Если среди векторов какие-либо ⁵⁾ векторов являются линейно зависимыми, то и все векторов являются линейно зависимыми.

Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.

Предложение 4. Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Предложение 5. Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Предложение 6. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Определение 4. Базисом в пространстве⁶⁾ называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение 5. Базисом на плоскости⁷⁾ называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

Определение 6. Базисом на прямой⁸⁾ называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 7. Пусть — базис в пространстве. Если

то говорят, что вектор разложен по базису. Числа называются координатами⁹⁾ вектора в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.

Предложение 7.

1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.
3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Предложение 8. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

• Линейная зависимость

• Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.