Коалгебра

проверено

Определение

Пусть $R$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и $C$левый унитарный $R$-модуль. Тогда тензорное произведение $C\otimes_RC$ — также левый унитарный $R$-модуль.

Определение 1. Коалгеброй1) называется тройка $(C,\Delta,\epsilon)$, где $C$ — унитарный левый $R$-модуль, $\Delta\colon C\rightarrow C\otimes C$ и $\epsilon\colon C\rightarrow R$гомоморфизмы левых $R$-модулей, удовлетворяющие следующим аксиомам:

  • коассоциативность2): $(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta$;
  • свойство коединицы3): $(\epsilon\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\epsilon)\circ\Delta=\textrm{id}_C$.

Отображение $\Delta$ называют коумножением4), а $\epsilon$коединицей5).

Пусть $\tau\colon C\rightarrow C$ — переставляющее отображение, то есть $\tau(a\otimes b)=b\otimes a$ для любых $a,b\in C$.

Определение 2. Коалгебра $C$ называется кокоммутативной, если она удовлетворяет дополнительному условию

  • кокоммутативности6) $\tau\circ\Delta=\Delta$.

Пример 1. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей $ R $ является коалгеброй, если положить $\Delta(1)=1\otimes 1$ и $\epsilon(1)=1$.

Пример 2. Пусть $ S $ — произвольное множество. Рассмотрим свободный $ R $-модуль $R[S]$ с базисом $ S $7). Определим отображения $\Delta$ и $\epsilon$ так, чтобы $\Delta(s)=s\otimes s$ и $\epsilon(s)=1$ для всех $s\in S$. Тогда $R[S]$ с указанными отображениями является коалгеброй.

Диаграммы

Коассоциативность

Аксиому ассоциативности для $R$-алгебры $A$ с умножением $\mu\colon A\otimes A\rightarrow A$ можно записать следующей коммутативной диаграммой

$\begin{diagram}
\node{A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{w,t}{\mu}\\ \\
\node{A\otimes A}\arrow[2]{n,l}{\mu}\node[2]{A\otimes A\otimes A}\arrow[2]{w,b}{\textrm{id}_A\otimes\mu}\arrow[2]{n,r}{\mu\otimes\textrm{id}_A}
\end{diagram}$.

Это соответствует равенству $\mu(\mu(a,b),c)=\mu(a,\mu(b,c))$ для любых $a,b,c\in A$, если проходить по диаграмме из правого нижнего угла в левый верхний по стрелкам сначала вверх, затем влево, и сначала влево, затем вверх.

По аналогии аксиому коассоциативности записывают с помощью коммутативной диаграммы

$\begin{diagram}
\node{C}\arrow[2]{e,t}{\Delta}\arrow[2]{s,l}{\Delta}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{s,r}{\Delta\otimes\textrm{id}_C}\\ \\
\node{C\otimes C}\arrow[2]{e,b}{\textrm{id}_C\otimes\Delta}\node[2]{C\otimes C\otimes C}
\end{diagram}$,

полученной разворотом стрелок в диаграмме для ассоциативности. Умножение $\mu$ при этом меняется на коумножение $\Delta$. Данная диаграмма соответствует формуле $(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta$.

Коединица

Аксиома единицы $ea=ae=e$ в алгебре $A$ с единицей может быть записана в виде коммутативной диаграммы

$\begin{diagram}
\node{R\otimes A}\arrow[2]{se,b}{\cong}\arrow[2]{e,t}{e\otimes\textrm{id}_A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{s,r}{\mu}\node[2]{A\otimes R}\arrow[2]{w,t}{\textrm{id}_A\otimes e}\arrow[2]{sw,b}{\cong}\\ \\
\node[3]{A}
\end{diagram}$,

где $e\colon R\rightarrow A\colon 1\mapsto 1$.

Тогда, развернув в этой диаграмме стрелки и заменив $\mu$ на $\Delta$, а $e$ на $\epsilon$, можно получить коммутативную диаграмму, соответствующую аксиоме коединицы

$\begin{diagram}
\node{R\otimes C}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{w,t}{\epsilon\otimes\textrm{id}_C}\arrow[2]{e,t}{\textrm{id}_C\otimes\epsilon}\node[2]{C\otimes R}\\ \\
\node[3]{C}\arrow[2]{n,r}{\Delta}\arrow[2]{nw,b}{\cong}\arrow[2]{ne,b}{\cong}
\end{diagram}$.

Кокоммутативность

Аксиоме коммутативности в алгебре $A$ соответствует диаграмма

$\begin{diagram}
\node[3]{A}\\ \\
\node{A\otimes A}\arrow[2]{ne,l}{\mu}\node[4]{A\otimes A}\arrow[2]{nw,l}{\mu}\arrow[4]{w,b}{\tau}
\end{diagram}$,

что означает $\mu(\tau(a,b))=\mu(a,b)$, или $\mu\circ\tau=\mu$.

При развороте стрелок получается диаграмма для кокоммутативности

$\begin{diagram}
\node[3]{C}\arrow[2]{se,l}{\Delta}\arrow[2]{sw,l}{\Delta}\\ \\
\node{C\otimes C}\arrow[4]{e,b}{\tau}\node[4]{C\otimes C}
\end{diagram}$,

которая дает $\tau\circ\Delta=\Delta$.

Литература

1) coalgebra
2) coassociativity
3) counitary property
4) comultiplication
5) counit
6) cocommutativity
7) то есть множество формальных линейных комбинаций $r_1s_1+\ldots+r_ms_m$
glossary/coalgebra.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:47:50 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0