Содержание

Коалгебра

Коалгебра

проверено

Определение

Пусть $R$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и $C$ — левый унитарный $R$ -модуль. Тогда тензорное произведение $C\otimes_RC$ — также левый унитарный $R$ -модуль.

Определение 1. Коалгеброй¹⁾ называется тройка $(C,\Delta,\epsilon)$ , где $C$ — унитарный левый $R$ -модуль, $\Delta\colon C\rightarrow C\otimes C$ и $\epsilon\colon C\rightarrow R$ — гомоморфизмы левых $R$ -модулей, удовлетворяющие следующим аксиомам:

коассоциативность²⁾: $(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta$ ;
свойство коединицы³⁾: $(\epsilon\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\epsilon)\circ\Delta=\textrm{id}_C$ .

Отображение $\Delta$ называют коумножением⁴⁾, а $\epsilon$ — коединицей⁵⁾.

Пусть $\tau\colon C\rightarrow C$ — переставляющее отображение, то есть $\tau(a\otimes b)=b\otimes a$ для любых $a,b\in C$ .

Определение 2. Коалгебра $C$ называется кокоммутативной, если она удовлетворяет дополнительному условию

кокоммутативности⁶⁾ $\tau\circ\Delta=\Delta$ .

Пример 1. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей $R$ является коалгеброй, если положить $\Delta(1)=1\otimes 1$ и $\epsilon(1)=1$ .

Пример 2. Пусть $S$ — произвольное множество. Рассмотрим свободный $R$ -модуль $R[S]$ с базисом $S$ ⁷⁾. Определим отображения $\Delta$ и $\epsilon$ так, чтобы $\Delta(s)=s\otimes s$ и $\epsilon(s)=1$ для всех $s\in S$ . Тогда $R[S]$ с указанными отображениями является коалгеброй.

Диаграммы

Коассоциативность

Аксиому ассоциативности для $R$ -алгебры $A$ с умножением $\mu\colon A\otimes A\rightarrow A$ можно записать следующей коммутативной диаграммой

$\begin{diagram} \node{A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{w,t}{\mu}\\ \\ \node{A\otimes A}\arrow[2]{n,l}{\mu}\node[2]{A\otimes A\otimes A}\arrow[2]{w,b}{\textrm{id}_A\otimes\mu}\arrow[2]{n,r}{\mu\otimes\textrm{id}_A} \end{diagram}$ .

Это соответствует равенству $\mu(\mu(a,b),c)=\mu(a,\mu(b,c))$ для любых $a,b,c\in A$ , если проходить по диаграмме из правого нижнего угла в левый верхний по стрелкам сначала вверх, затем влево, и сначала влево, затем вверх.

По аналогии аксиому коассоциативности записывают с помощью коммутативной диаграммы

$\begin{diagram} \node{C}\arrow[2]{e,t}{\Delta}\arrow[2]{s,l}{\Delta}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{s,r}{\Delta\otimes\textrm{id}_C}\\ \\ \node{C\otimes C}\arrow[2]{e,b}{\textrm{id}_C\otimes\Delta}\node[2]{C\otimes C\otimes C} \end{diagram}$ ,

полученной разворотом стрелок в диаграмме для ассоциативности. Умножение $\mu$ при этом меняется на коумножение $\Delta$ . Данная диаграмма соответствует формуле $(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta$ .

Коединица

Аксиома единицы $ea=ae=e$ в алгебре $A$ с единицей может быть записана в виде коммутативной диаграммы

$\begin{diagram} \node{R\otimes A}\arrow[2]{se,b}{\cong}\arrow[2]{e,t}{e\otimes\textrm{id}_A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{s,r}{\mu}\node[2]{A\otimes R}\arrow[2]{w,t}{\textrm{id}_A\otimes e}\arrow[2]{sw,b}{\cong}\\ \\ \node[3]{A} \end{diagram}$ ,

где $e\colon R\rightarrow A\colon 1\mapsto 1$ .

Тогда, развернув в этой диаграмме стрелки и заменив $\mu$ на $\Delta$ , а $e$ на $\epsilon$ , можно получить коммутативную диаграмму, соответствующую аксиоме коединицы

$\begin{diagram} \node{R\otimes C}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{w,t}{\epsilon\otimes\textrm{id}_C}\arrow[2]{e,t}{\textrm{id}_C\otimes\epsilon}\node[2]{C\otimes R}\\ \\ \node[3]{C}\arrow[2]{n,r}{\Delta}\arrow[2]{nw,b}{\cong}\arrow[2]{ne,b}{\cong} \end{diagram}$ .

Кокоммутативность

Аксиоме коммутативности в алгебре $A$ соответствует диаграмма

$\begin{diagram} \node[3]{A}\\ \\ \node{A\otimes A}\arrow[2]{ne,l}{\mu}\node[4]{A\otimes A}\arrow[2]{nw,l}{\mu}\arrow[4]{w,b}{\tau} \end{diagram}$ ,

что означает $\mu(\tau(a,b))=\mu(a,b)$ , или $\mu\circ\tau=\mu$ .

При развороте стрелок получается диаграмма для кокоммутативности

$\begin{diagram} \node[3]{C}\arrow[2]{se,l}{\Delta}\arrow[2]{sw,l}{\Delta}\\ \\ \node{C\otimes C}\arrow[4]{e,b}{\tau}\node[4]{C\otimes C} \end{diagram}$ ,

которая дает $\tau\circ\Delta=\Delta$ .

Литература

Кассел К., Россо М., Тураев В. «Квантовые группы и инварианты узлов», Институт компьютерных исследований, 2002.
Кассель К. «Квантовые группы», Фазис, 1999.

абстрактная алгебра, коалгебра, коассоциативность, коединица, кокоммутативность, коумножение

¹⁾

coalgebra

²⁾

coassociativity

³⁾

counitary property

⁴⁾

comultiplication

⁵⁾

counit

⁶⁾

cocommutativity

⁷⁾

то есть множество формальных линейных комбинаций $r_1s_1+\ldots+r_ms_m$

glossary/coalgebra.txt · Последние изменения: 10.10.2011 10:47:50 — Ладилова Анна

Наверх