Коалгебра
проверено
Определение
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и
— левый унитарный
-модуль. Тогда тензорное произведение
— также левый унитарный
-модуль.
Определение 1. Коалгеброй1) называется тройка , где
— унитарный левый
-модуль,
и
— гомоморфизмы левых
-модулей, удовлетворяющие следующим аксиомам:
Отображение называют коумножением4), а
— коединицей5).
Пусть — переставляющее отображение, то есть
для любых
.
Определение 2. Коалгебра называется кокоммутативной, если она удовлетворяет дополнительному условию
- кокоммутативности6)
.
Пример 1. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей является коалгеброй, если положить
и
.
Пример 2. Пусть — произвольное множество. Рассмотрим свободный
-модуль
с базисом
7). Определим отображения
и
так, чтобы
и
для всех
. Тогда
с указанными отображениями является коалгеброй.
Диаграммы
Коассоциативность
Аксиому ассоциативности для -алгебры
с умножением
можно записать следующей коммутативной диаграммой
.
Это соответствует равенству для любых
, если проходить по диаграмме из правого нижнего угла в левый верхний по стрелкам сначала вверх, затем влево, и сначала влево, затем вверх.
По аналогии аксиому коассоциативности записывают с помощью коммутативной диаграммы
,
полученной разворотом стрелок в диаграмме для ассоциативности. Умножение при этом меняется на коумножение
. Данная диаграмма соответствует формуле
.
Коединица
Аксиома единицы в алгебре
с единицей может быть записана в виде коммутативной диаграммы
,
где .
Тогда, развернув в этой диаграмме стрелки и заменив на
, а
на
, можно получить коммутативную диаграмму, соответствующую аксиоме коединицы
.
Кокоммутативность
Аксиоме коммутативности в алгебре соответствует диаграмма
,
что означает , или
.
При развороте стрелок получается диаграмма для кокоммутативности
,
которая дает .
Литература
- Кассель К. «Квантовые группы», Фазис, 1999.
