Коалгебра
проверено
Определение
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и — левый унитарный -модуль. Тогда тензорное произведение — также левый унитарный -модуль.
Определение 1. Коалгеброй1) называется тройка , где — унитарный левый -модуль, и — гомоморфизмы левых -модулей, удовлетворяющие следующим аксиомам:
Отображение называют коумножением4), а — коединицей5).
Пусть — переставляющее отображение, то есть для любых .
Определение 2. Коалгебра называется кокоммутативной, если она удовлетворяет дополнительному условию
- кокоммутативности6) .
Пример 1. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей является коалгеброй, если положить и .
Пример 2. Пусть — произвольное множество. Рассмотрим свободный -модуль с базисом 7). Определим отображения и так, чтобы и для всех . Тогда с указанными отображениями является коалгеброй.
Диаграммы
Коассоциативность
Аксиому ассоциативности для -алгебры с умножением можно записать следующей коммутативной диаграммой
.
Это соответствует равенству для любых , если проходить по диаграмме из правого нижнего угла в левый верхний по стрелкам сначала вверх, затем влево, и сначала влево, затем вверх.
По аналогии аксиому коассоциативности записывают с помощью коммутативной диаграммы
,
полученной разворотом стрелок в диаграмме для ассоциативности. Умножение при этом меняется на коумножение . Данная диаграмма соответствует формуле .
Коединица
Аксиома единицы в алгебре с единицей может быть записана в виде коммутативной диаграммы
,
где .
Тогда, развернув в этой диаграмме стрелки и заменив на , а на , можно получить коммутативную диаграмму, соответствующую аксиоме коединицы
.
Кокоммутативность
Аксиоме коммутативности в алгебре соответствует диаграмма
,
что означает , или .
При развороте стрелок получается диаграмма для кокоммутативности
,
которая дает .
Литература
- Кассель К. «Квантовые группы», Фазис, 1999.