Алгебра Хопфа

Биалгебра

Пусть $R$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Ассоциативная алгебра с единицей $A$ над кольцом $R$ называется биалгеброй¹⁾, если

она наделена структурой коалгебры с коумножением $\Delta$ и коединицей $\epsilon$ ;
$\Delta\colon A\rightarrow A\otimes A$ и $\epsilon\colon A\rightarrow R$ — гомоморфизмы алгебр.

Алгебра Хопфа

Определение 2. Биалгебра $A$ называется алгеброй Хопфа²⁾, если определено $R$ -линейное отображение $S\colon A\rightarrow A$ , удовлетворяющее условию

$\mu\circ(\textrm{id}_A,S)\circ\Delta=\mu\circ(S,\textrm{id}_A)\circ\Delta=\eta\circ\epsilon$ ,

где $\eta\colon R\rightarrow A$ — гомоморфизм $R$ -алгебр, а $\mu\colon A\otimes A\rightarrow A$ — отображение, определяющее умножение в алгебре $A$ . Отображение $S$ называется антиподом³⁾.