
Содержание
Линейно связное топологическое пространство
Пусть — единичный отрезок. Рассмотрим подпространство
топологического пространства с обычной топологией
.
Путь в топологическом пространстве
Определение 1. Пусть — топологическое пространство и
— непрерывное отображение. Будем говорить что
это путь в
1). При этом точку
будем называть началом пути2), а точку
будем называть концом пути3).
Определение 2. Пусть и
— пути в топологическом пространстве
и
. Определим путь
следующим образом:
. Назовем путь
произведением путей4)
и
.
Определение 3. Пусть — путь в топологическом пространстве
. Определим путь
следующим образом:
, где
. Будем называть этот путь обратным к
5).
Определение 4. Пусть — путь в топологическом пространстве
и
. Определим путь
следующим образом:
, где
. Будем называть этот путь постоянным6).
Замечание 1. Легко убедиться что:
Линейная связность
Определение 5. Говорят, что топологическое пространство линейно связно7), если для каждой пары точек
существует путь
с началом в одной точке и концом в другой:
и
— непрерывное.
Определение 6. Непустое подмножество топологического пространства
называется линейно связным8), если подпространство
является линейно связным топологическим пространством.
Предложение 1. Пусть и
— топологические пространства, а
— непрерывное и сюръективное отображение. Тогда если
линейно связное топологическое пространство, то
также линейно связное топологическое пространство.
Предложение 2. Топологическое пространство является линейно связным.
Предложение 3. Объединение линейно связных подмножеств
топологического пространства
, имеющих непустое пересечение
является линейно связным подмножеством.
Предложение 4. Всякое линейно связное топологическое пространство является связным топологическим пространством.
Пример 1. Пусть ,
,
,
. Тогда
— линейно связно (и гомеоморфно
с обычной топологией), а
— не является линейно связным.
Определение 7. Пусть — топологическое пространство и
. Рассмотрим множество всех точек из
, для которых существует путь, соединяющий их с точкой
:
.
Будем называть это множество компонентой линейной связности точки 9).
Предложение 5. Множество является наибольшим (по включению) линейно связным подмножеством в
, содержащим точку
.
Предложение 6. Пусть — топологическое пространство и
. Тогда либо
, либо
.
Литература

