Линейно связное топологическое пространство

Пусть $I=[0,1]\subset\mathbb{R}^1$ — единичный отрезок. Рассмотрим подпространство $(I,\tau_U)$ топологического пространства с обычной топологией $(\mathbb{R}^1,\tau_U)$.

Путь в топологическом пространстве

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $u\colon I\rightarrow X$непрерывное отображение. Будем говорить что $u$ это путь в $X$1). При этом точку $u(0)$ будем называть началом пути2), а точку $u(1)$ будем называть концом пути3).

Определение 2. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ и $v\colon I\rightarrow X$ — пути в топологическом пространстве $(X,\tau)$ и $u(1)=v(0)$. Определим путь $u\cdot v$ следующим образом: $(u\cdot v)(t)=\begin{cases}u(2t),\quad t\in[0,\frac{1}{2}]\\v(2t-1),\quad t\in[\frac{1}{2},1]\end{cases}$. Назовем путь $u\cdot v$ произведением путей4) $u$ и $v$.

Определение 3. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ — путь в топологическом пространстве $(X,\tau)$. Определим путь $u^{-1}$ следующим образом: $u^{-1}(t)=u(1-t)$, где $t\in I$. Будем называть этот путь обратным к $u$5).

Определение 4. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ — путь в топологическом пространстве $(X,\tau)$ и $x\in X$. Определим путь $1_x$ следующим образом: $1_x(t)=x$, где $t\in I$. Будем называть этот путь постоянным6).

Замечание 1. Легко убедиться что:

  1. $(u\cdot v)\cdot w\neq u\cdot(v\cdot w)$
  2. $u\cdot 1_x\neq u$
  3. $u\cdot u^{-1}\neq 1_x$

Линейная связность

Определение 5. Говорят, что топологическое пространство $(X,\tau)$ линейно связно7), если для каждой пары точек $a,b\in X$ существует путь $u\colon I\rightarrow X$ с началом в одной точке и концом в другой: $(\forall a,b\in X)(\exists u\colon I\rightarrow X):(u(0)=a)\wedge(u(1)=b)$ и $u$ — непрерывное.

Определение 6. Непустое подмножество $A\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ называется линейно связным8), если подпространство $(A,\tau_A)$ является линейно связным топологическим пространством.

Предложение 1. Пусть $(X,\tau)$ и $(Y,\omega)$ — топологические пространства, а $f\colon X\rightarrow Y$ — непрерывное и сюръективное отображение. Тогда если $(X,\tau)$ линейно связное топологическое пространство, то $(Y,\omega)$ также линейно связное топологическое пространство.

Предложение 2. Топологическое пространство $(\mathbb{R}^n,\tau_U)$ является линейно связным.

Предложение 3. Объединение $B=\underset{\alpha\in I}{\cup}A_\alpha$ линейно связных подмножеств $A_\alpha\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$, имеющих непустое пересечение $\underset{\alpha\in I}{\cap}A_\alpha\neq\varnothing$ является линейно связным подмножеством.

Предложение 4. Всякое линейно связное топологическое пространство является связным топологическим пространством.

Пример 1. Пусть $(\mathbb{R}^2,\tau_U)$, $A=\{(x,\sin\frac{1}{x})\in\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}^1,x>0\}$, $B=\{(0,y)\vert y\in\mathbb{R}^1, -1\leqslant y\leqslant 1\}$, $\overline{A}=A\cup B$. Тогда $A$ — линейно связно (и гомеоморфно $\mathbb{R}^1$ с обычной топологией), а $\overline{A}$ — не является линейно связным.

Определение 7. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $a\in X$. Рассмотрим множество всех точек из $X$, для которых существует путь, соединяющий их с точкой $a$:
$L_a=\{b\in X\vert\exists u:I\rightarrow X:u(0)=a,u(1)=b\}$.
Будем называть это множество компонентой линейной связности точки $a$9).

Предложение 5. Множество $L_a$ является наибольшим (по включению) линейно связным подмножеством в $X$, содержащим точку $a$.

Предложение 6. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $a,b\in X$. Тогда либо $L_a=L_b$, либо $L_a\cap L_b=\varnothing$.

Литература

1)
path in $X$
2)
initial point
3)
terminal point
4)
path composition
5)
inverse path
6)
constant path
7)
path-connected space
8)
path-connected subset
9)
path-component of $a$
theory/topology/connection/path.txt · Последние изменения: 15.10.2013 23:43:53 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0