Линейно связное топологическое пространство

Пусть $I=[0,1]\subset\mathbb{R}^1$ — единичный отрезок. Рассмотрим подпространство $(I,\tau_U)$ топологического пространства с обычной топологией $(\mathbb{R}^1,\tau_U)$ .

Путь в топологическом пространстве

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $u\colon I\rightarrow X$ — непрерывное отображение. Будем говорить что $u$ это путь в $X$ ¹⁾. При этом точку $u(0)$ будем называть началом пути²⁾, а точку $u(1)$ будем называть концом пути³⁾.

Определение 2. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ и $v\colon I\rightarrow X$ — пути в топологическом пространстве $(X,\tau)$ и $u(1)=v(0)$ . Определим путь $u\cdot v$ следующим образом: $(u\cdot v)(t)=\begin{cases}u(2t),\quad t\in[0,\frac{1}{2}]\\v(2t-1),\quad t\in[\frac{1}{2},1]\end{cases}$ . Назовем путь $u\cdot v$ произведением путей⁴⁾ $u$ и $v$ .

Определение 3. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ — путь в топологическом пространстве $(X,\tau)$ . Определим путь $u^{-1}$ следующим образом: $u^{-1}(t)=u(1-t)$ , где $t\in I$ . Будем называть этот путь обратным к $u$ ⁵⁾.

Определение 4. Пусть $u\colon I\rightarrow X$ — путь в топологическом пространстве $(X,\tau)$ и $x\in X$ . Определим путь $1_x$ следующим образом: $1_x(t)=x$ , где $t\in I$ . Будем называть этот путь постоянным⁶⁾.

Замечание 1. Легко убедиться что:

$(u\cdot v)\cdot w\neq u\cdot(v\cdot w)$
$u\cdot 1_x\neq u$
$u\cdot u^{-1}\neq 1_x$

Линейная связность

Определение 5. Говорят, что топологическое пространство $(X,\tau)$ линейно связно⁷⁾, если для каждой пары точек $a,b\in X$ существует путь $u\colon I\rightarrow X$ с началом в одной точке и концом в другой: $(\forall a,b\in X)(\exists u\colon I\rightarrow X):(u(0)=a)\wedge(u(1)=b)$ и $u$ — непрерывное.

Определение 6. Непустое подмножество $A\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ называется линейно связным⁸⁾, если подпространство $(A,\tau_A)$ является линейно связным топологическим пространством.

Предложение 1. Пусть $(X,\tau)$ и $(Y,\omega)$ — топологические пространства, а $f\colon X\rightarrow Y$ — непрерывное и сюръективное отображение. Тогда если $(X,\tau)$ линейно связное топологическое пространство, то $(Y,\omega)$ также линейно связное топологическое пространство.

Предложение 2. Топологическое пространство $(\mathbb{R}^n,\tau_U)$ является линейно связным.

Предложение 3. Объединение $B=\underset{\alpha\in I}{\cup}A_\alpha$ линейно связных подмножеств $A_\alpha\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ , имеющих непустое пересечение $\underset{\alpha\in I}{\cap}A_\alpha\neq\varnothing$ является линейно связным подмножеством.

Предложение 4. Всякое линейно связное топологическое пространство является связным топологическим пространством.

Пример 1. Пусть $(\mathbb{R}^2,\tau_U)$ , $A=\{(x,\sin\frac{1}{x})\in\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}^1,x>0\}$ , $B=\{(0,y)\vert y\in\mathbb{R}^1, -1\leqslant y\leqslant 1\}$ , $\overline{A}=A\cup B$ . Тогда $A$ — линейно связно (и гомеоморфно $\mathbb{R}^1$ с обычной топологией), а $\overline{A}$ — не является линейно связным.

Определение 7. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $a\in X$ . Рассмотрим множество всех точек из $X$ , для которых существует путь, соединяющий их с точкой $a$ :
$L_a=\{b\in X\vert\exists u:I\rightarrow X:u(0)=a,u(1)=b\}$ .
Будем называть это множество компонентой линейной связности точки $a$ ⁹⁾.