Схема

Аффинная схема

Определение 1. Аффинной схемой1) называется локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O}_X)$, изоморфное спектру некоторого кольца2).

Определение 2. Схемой3) называется локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O}_X)$, каждая точка которого обладает окрестностью $U$, что пара $(U,\mathcal{O}_{X\vert U})$, где $\mathcal{O}_{X\vert U}$ — ограничение пучка $\mathcal{O}_X$ на $U$, является аффинной схемой. Пространство $X$ называется базисным топологическим пространством4) схемы, а пучок $\mathcal{O}_X$структурным пучком5) схемы $(X,\mathcal{O}_X)$.

Пример 1. Пусть $F$поле. Тогда $\textrm{Spec}~F=\{(0)\}$ — это аффинная схема со структурным пучком $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}$, где $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}(\textrm{Spec}~F)=F$.

Определение 3. Схема $X$ называется связной, если ее топологическое пространство связно.

Определение 4. Схема $X$ называется неприводимой, если ее топологическое пространство неприводимо.

Приведенная схема

Определение 5. Схема $X$ называется приведенной6), если ни для какого открытого $U\subseteq X$ кольцо $\mathcal{O}_X(U)$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Предложение 1. Схема $X$ приведена тогда и только тогда, когда в каждой точке $P\in X$ локальное кольцо $\mathcal{O}_{X,P}$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Предположим, что схема $X$ приведена. Если для некоторого ростка $\overline{f}$ в точке $P$ справедливо равенство $\overline{f}^n=0$, то это означает, что $f^n=0$, где $f\in\mathcal{O}_X(U)$. В силу предположения о приведенности схемы имеем $f=0$, а значит, $\overline{f}=0$.

Обратно, предположим, что для некоторого $f\in\mathcal{O}_X(U)$ имеет место соотношение $f^n=0$. Тогда для любой точки $P\in U$ росток $f$ в этой точке нильпотентен, а значит, $f_{|V}=0$ для открытого $V\subseteq U$, $P\in V$. Из аксиом пучка следует, что $f=0$. $\blacksquare$

Целая схема

Определение 6. Схема $X$ называется целой, если для любого открытого $U\subseteq X$ кольцо $\mathcal{O}_X(U)$ является целостным.

Предложение 2. Схема $X$ является целой тогда и только тогда, когда она приведена и неприводима. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Если схема целая, то для любого открытого <latex>U</latex> кольцо <latex>\mathcal{O}_X(U)</latex> не имеет делителей нуля, а потому не имеет ненулевых нильпотентов, то есть <latex>X</latex> — приведенная схема. Если при этом схема не является неприводимой, то найдутся открытые непересекающиеся подмножества <latex>U_1</latex> и <latex>U_2</latex>. Кольцо <latex>\mathcal{O}(U_1\cup U_2)\cong\mathcal{O}(U_1)\times\mathcal{O}(U_2)</latex>, очевидно, содержит делители нуля7), но тогда схема <latex>X</latex> не цела. Обратно, пусть <latex>X</latex> приведена и неприводима. <latex>\blacksquare</latex> </hidden>

Нетерова схема

Определение 7. Схема $(X,\mathcal{O}_X)$ называется локально нетеровой, если она допускает покрытие открытыми подмножествами $U_i$, где $U_i=\textrm{Spec}~A_i$ — аффинная схема, и кольцо $A_i$ нетерово.

Определение 8. Схема называется нетеровой, если она локально нетерова и квазикомпактна.

Предложение 3. Схема $X$ локально нетерова тогда и только тогда, когда для любого открытого аффинного подмножества $U=\textrm{Spec}~A$ кольцо $A$ нетерово. В частности, аффинная схема $X=\textrm{Spec}~A$ нетерова тогда и только тогда, когда кольцо $A$ нетерово. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Заметим, что нужно доказывать только утверждение «туда», так как в обратную сторону оно следует непосредственно из определения. Пусть схема локально нетерова. Покажем, что для любого открытого аффинного <latex>U=\textrm{Spec}~A</latex> кольцо <latex>A</latex> нетерово. <latex>\blacksquare</latex> </hidden>

Литература

1) affine scheme
2) коммутативного ассоциативного с единицей
3) scheme
4) base topological space
5) structure sheaf
6) reductive scheme
glossary/topology/scheme.txt · Последние изменения: 19.10.2011 03:10:47 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0