Линейное нормированное пространство

проверено

Определение

Определение 1. Линейное пространство $V$ над полем $F=\mathbb{Q},\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ называется нормированным1), если выполнены следующие два требования:

  1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу $a\in V$ ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой2) указанного элемента и обозначаемого символом $\lVert a\rVert$.
  2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
    1. $\lVert a\rVert\geqslant 0$, причем $\lVert a\rVert=0$ тогда и только тогда, когда $a=0$.
    2. $\lVert\lambda a\rVert=\lvert\lambda\rvert\lVert a\rVert$ для любых $a\in V$ и $\lambda\in F$.
    3. Для любых двух элементов $ a $ и $ b $ справедливо неравенство треугольника $\lVert a+b\rVert\leqslant\lVert a\rVert+\lvert b\rVert$.

Предложение 1. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента $ a $ определить равенством $\lVert a\rVert=\sqrt{(a,a)}$.

Пример 1. Рассмотрим векторное пространство $\mathbb{R}^3$. Число $\sqrt{(a,a)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ является нормой элемента $ a $ в $\mathbb{R}^3$.

Литература

1) normalized space
2) norm
glossary/space/linear/normalized.txt · Последние изменения: 09.01.2011 07:40:35 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0