Линейное нормированное пространство
проверено
Определение
Определение 1. Линейное пространство над полем
или
называется нормированным1), если выполнены следующие два требования:
- Имеется правило, посредством которого каждому элементу
ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой2) указанного элемента и обозначаемого символом
.
- Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
, причем
тогда и только тогда, когда
.
для любых
и
.
- Для любых двух элементов
и
справедливо неравенство треугольника
.
Предложение 1. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента определить равенством
.
Пример 1. Рассмотрим векторное пространство . Число
является нормой элемента
в
.