Полупростое артиново кольцо

Полупростое артиново слева кольцо

Теорема 1. Пусть $ R $полупростое артиново слева кольцо и $\rho\neq 0$левый идеал в $ R $. Тогда $\rho=Re$ для некоторого идемпотента $e\in R$.

Следствие 1. Если $ R $ — полупростое артиново слева кольцо и $ A $идеал в $ R $, то $A=Re=eR$, где $ e $ — идемпотент из центра $ R $.

Следствие 2. Полупростое артиново слева кольцо имеет единицу.

Полупростое артиново справа кольцо

Теорема 2. Пусть $ R $полупростое артиново справа кольцо и $\rho\neq 0$правый идеал в $ R $. Тогда $\rho=eR$ для некоторого идемпотента $e\in R$.

Следствие 1. Если $ R $ — полупростое артиново справа кольцо и $ A $идеал в $ R $, то $A=Re=eR$, где $ e $ — идемпотент из центра $ R $.

Следствие 2. Полупростое артиново справа кольцо имеет единицу.

Теорема Веддербарна-Артина

Лемма 1. Пусть $ R $ — полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо и $A\neq 0$ — идеал в $ R $. Тогда существует такой идеал $ I $ в $ R $, что $R=A\oplus I$.

Доказательство. По следствию 1 существует такой центральный идемпотент $e\in R$, что $A=Re=eR$. По следствию 2 кольцо $ R $ имеет единицу. Рассмотрим $I=R(1-e)$. Так как $1-e$ лежит в центре кольца $ R $, то $ I $ — идеал в $ R $. Для любого $x\in R$ выполнено тождество $x=xe+x(1-e)$, следовательно $R=A+I$. Кроме того, $A\cap I=0$, поскольку любой элемент $ x $ из пересечения удовлетворяет условиям $xe=x$ и $xe=0$.$\blacksquare$

Лемма 2. Любой идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца является полупростым артиновым слева (артинового справа) кольцом.

Лемма 3. Пусть $A\neq 0$ — минимальный идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца $ R $. Тогда $ A $простое кольцо.

Теорема 3. Полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо есть прямая сумма конечного числа простых артиновых слева (артиновых справа) колец.

Смотри также

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
glossary/ring/semisimple.txt · Последние изменения: 07.10.2011 22:59:02 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0