Содержание
Полупростое артиново кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Полупростое артиново слева кольцо
Теорема 1. Пусть — полупростое артиново слева кольцо и
— левый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Следствие 1. Если — полупростое артиново слева кольцо и
— идеал в
, то
, где
— идемпотент из центра
.
Следствие 2. Полупростое артиново слева кольцо имеет единицу.
Полупростое артиново справа кольцо
Теорема 2. Пусть — полупростое артиново справа кольцо и
— правый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Следствие 1. Если — полупростое артиново справа кольцо и
— идеал в
, то
, где
— идемпотент из центра
.
Следствие 2. Полупростое артиново справа кольцо имеет единицу.
Теорема Веддербарна-Артина
Лемма 1. Пусть — полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо и
— идеал в
. Тогда существует такой идеал
в
, что
.
Доказательство. По следствию 1 существует такой центральный идемпотент , что
. По следствию 2 кольцо
имеет единицу. Рассмотрим
. Так как
лежит в центре кольца
, то
— идеал в
. Для любого
выполнено тождество
, следовательно
. Кроме того,
, поскольку любой элемент
из пересечения удовлетворяет условиям
и
.
Лемма 2. Любой идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца является полупростым артиновым слева (артинового справа) кольцом.
Лемма 3. Пусть — минимальный идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца
. Тогда
— простое кольцо.
Теорема 3. Полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо есть прямая сумма конечного числа простых артиновых слева (артиновых справа) колец.
Смотри также
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.