Содержание

Идемпотенты в ассоциативном кольце

Идемпотенты в ассоциативном кольце

Описание

Определение 1. Элемент $e\neq 0$ кольца $R$ называется идемпотентом¹⁾, если $e^2=e$ .

Предложение 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $\rho\neq 0$ — минимальный левый идеал в $R$ . Тогда $\rho=Re$ для некоторого идемпотента $e\in R$ .

Доказательство.

Заметим, что $\rho^2\neq0$ , иначе $\rho$ нильпотентен, и содержится в ненулевом нильпотентном идеале²⁾. Тогда существует $x\in\rho$ такой, что $\rho x\neq0$ . Ясно, что $\rho x$ — левый идеал кольца, поэтому в силу минимальности $\rho$ имеем $\rho=\rho x$ . Тогда найдется элемент $e\in\rho$ , что $x=ex$ . Как следствие, $ex=e^2x$ , или $(e-e^2)x=0$ .

Пусть $\rho_0=\{y\in\rho|yx=0\}$ . Ясно, что $\rho_0$ — левый идеал в $R$ , причем $\rho\neq\rho_0$ (иначе $\rho x=0$ ). Из минимальности $\rho$ следует, что $\rho_0=0$ . Но тогда равенство $(e-e^2)x=0$ означает, что $e-e^2=0$ , то есть $e=e^2$ .

Множество $Re$ — левый идеал в $R$ . Так как $e\in\rho$ , то $Re\subseteq\rho$ . Так как $0\neq e=e^2\in Re$ , то $Re\neq 0$ . Но тогда $Re=\rho$ . $\blacksquare$

Предложение 2. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $\rho\neq 0$ — минимальный правый идеал в $R$ . Тогда $\rho=eR$ для некоторого идемпотента $e\in R$ .

Теорема 1. Если ассоциативное кольцо $R$ артиново слева и $\rho\neq 0$ — не нильпотентный левый идеал в $R$ , то $\rho$ содержит ненулевой идемпотент.

Доказательство.

1. Лемма. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и для некоторого $a\in R$ элемент $a^2-a$ нильпотентен. Тогда либо элемент $a$ нильпотентен, либо существует такой многочлен с целыми коэффициентами $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ , что элемент $e=aq(a)$ является идемпотентом.

Доказательство. Если $a^2-a$ нильпотентен, то $(a^2-a)^m=0$ . Раскроем скобки и перенесем все, кроме $a^m$ в правую часть равенства, получим выражение $a^m=a^{m+1}p(a)$ , где $p$ — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда

$a^m=a^{m+1}p(a)=a^map(a)=(a^{m+1}p(a))ap(a)=\ldots=a^{2m}p(a)^m$ .

Если $a$ не нильпотент, то

$a^mp(a)\neq 0$ и $(a^mp(a)^m)^2=a^{2m}p(a)^{2m}=(a^{2m}p{a}^m)p{a}^m=a^mp(a)^m$ .

То есть $e=a^mp(a)^m$ — идемпотент. Положим $q(a)=a^{m-1}p(a)^m$ , тогда $e=aq(a)$ .

2. Так как $\rho$ — не нильпотентный, то $\rho\not\subseteq J(R)$ ³⁾. Тогда при канонической проекции $\pi\colon R\rightarrow R/J(R)$ образ $\pi(\rho)$ — ненулевой левый идеал $R/J(R)$ .

Так как $R$ артиново слева, то $R/J(R)$ артиново слева⁴⁾, поэтому $\pi(\rho)$ содержит ненулевой минимальный левый идеал $\overline{\rho}_0$ .

Заметим, что $R/J(R)$ не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, так как нильпотентный идеал состоит из квазирегулярных элементов ⁵⁾, а потому содержится в радикале Джекобсона $J(R/J(R))=0$ ⁶⁾. Таким образом, мы находимся в условиях предположения предложения 1, и $\overline{\rho}_0=R/J(R)\overline{e}$ для некоторого идемпотента $\overline{e}\in R/J(R)$ .

Пусть $a\in\rho$ — элемент из прообраза $\overline{e}$ , тогда $\pi(a^2-a)=\overline{e}^2-\overline{e}=0$ , то есть $a^2-a\in\textrm{ker}~\pi=J(R)$ , поэтому из нильпотентности $J(R)$ следует, что $a^2-a$ — нильпотентный элемент.

Если $a$ нильпотентен, $a^m=0$ , то $0=\pi(a)^m=\overline{e}^m=\overline{e}$ , что невозможно. Тогда из леммы 1 следует, что существует идемпотент $e=aq(a)\in\rho$ . $\blacksquare$

Теорема 2. Если ассоциативное кольцо $R$ артиново справа и $\rho\neq 0$ — не нильпотентный правый идеал в $R$ , то $\rho$ содержит ненулевой идемпотент.

Теорема 3. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $e$ — идемпотент в $R$ . Тогда $J(eRe)=eJ(R)e$ .

Доказательство.

Покажем, что если $M$ — неприводимый левый $R$ -модуль, то либо $eM=0$ , либо $eM$ неприводимый левый $eRe$ -модуль. Пусть $eM\neq0$ , тогда для любого ненулевого $em\in eM$ имеем $eRe(em)=eReem=eRem=e(R(em))=eM$ .

Из определения радикала Джекобсона следует, что если $eM\neq0$ , то $J(eRe)eM=0$ , но $J(eRe)e=eJ(eRe)$ , а значит, $J(eRe)M=0$ . Если $eM=0$ , то тем более $J(eRe)M=0$ . Из соотношения $J(eRe)M=0$ следует, что $J(eRe)\subseteq J(R)$ , поэтому $J(eRe)=eJ(eRe)e\subseteq eJ(R)e$ .

Обратно, пусть $a\in eJ(R)e$ , тогда $a\in J(R)$ , то есть существует левый квазиобратный элемент $a'$ : $a+a'+a'a=0$ . Умножим последнее соотношение слева и справа на $e$ : $eae+ea'e+ea'ae=0$ . Так как $a\in eJ(R)e$ , то $eae=a$ и $ea'ae=ea'eae=ea'ea$ . Поэтому $a+ea'e+ea'ea=0$ , то есть $ea'e$ также левый квазиобратный для $a$ . Следовательно, $a'=ea'e$ . Таким образом, $eJ(R)e$ состоит из лево-квазирегулярных элементов кольца $eRe$ , откуда⁷⁾ $eJ(R)e\subseteq J(eRe)$ .

В результате мы доказали, что $J(eRe)=eJ(R)e$ . $\blacksquare$

Теорема 4. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $e$ — ненулевой идемпотент из $R$ . Тогда $Re$ — минимальный левый идеал в $R$ в том и только в том случае, когда $eRe$ — тело.

Доказательство.

Пусть $\rho=Re$ — минимальный левый идеал в $R$ , и $eae\neq0$ , $eae\in eRe$ . Тогда $Reae\neq0$ — левый идеал, содержащийся в $Re$ . В силу минимальности имеем $Reae=Re$ , то есть $ee=xeae$ для некоторого $x\in R$ . Тогда $e=ee=eee=exeae=exeeae$ , иначе говоря, $exe=(eae)^{-1}$ .

Обратно, пусть $eRe$ тело. Покажем, что $\rho=Re$ — минимальный левый идеал. Предположим, что $\rho_0\subseteq\rho$ — ненулевой левый идеал. Тогда $e\rho_0\neq0$ , иначе $\rho_0^2\subseteq \rho\rho_0=Re\rho_0=0$ , что невозможно по предположению. Тогда для произвольного ненулевого элемента $ea\in\rho_0\subseteq Re$ , имеем $ea=eae\neq0$ , а значит, в $eRe$ для него существует обратный $exe$ , $exeeae=e$ . Следовательно, $xea=e$ . Тогда $\rho=Re=Rxea\subseteq Ra\subseteq R\rho_0=\rho_0$ . Таким образом, $\rho_0=\rho$ , то есть $\rho=Re$ — минимальный левый идеал. $\blacksquare$

Теорема 5. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $e$ — ненулевой идемпотент из $R$ . Тогда $eR$ — минимальный правый идеал в $R$ в том и только в том случае, когда $eRe$ — тело.

Следствие 1. Если $R$ не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и $e$ — идемпотент в $R$ , то $Re$ — минимальный левый идеал в $R$ тогда и только тогда, когда $eR$ — минимальный правый идеал.