Определение 1. Элемент кольца
называется идемпотентом1), если
.
Предложение 1. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— минимальный левый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Доказательство.
Доказательство.
Заметим, что , иначе
нильпотентен, и содержится в ненулевом нильпотентном идеале2). Тогда существует
такой, что
. Ясно, что
— левый идеал кольца, поэтому в силу минимальности
имеем
. Тогда найдется элемент
, что
. Как следствие,
, или
.
Пусть . Ясно, что
— левый идеал в
, причем
(иначе
). Из минимальности
следует, что
. Но тогда равенство
означает, что
, то есть
.
Множество — левый идеал в
. Так как
, то
. Так как
, то
. Но тогда
.
Предложение 2. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— минимальный правый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Теорема 1. Если ассоциативное кольцо артиново слева и
— не нильпотентный левый идеал в
, то
содержит ненулевой идемпотент.
Доказательство.
Доказательство.
1. Лемма. Пусть — ассоциативное кольцо и для некоторого
элемент
нильпотентен. Тогда либо элемент
нильпотентен, либо существует такой многочлен с целыми коэффициентами
, что элемент
является идемпотентом.
Доказательство. Если нильпотентен, то
. Раскроем скобки и перенесем все, кроме
в правую часть равенства, получим выражение
, где
— многочлен с целыми коэффициентами. Тогда
.
Если не нильпотент, то
и
.
То есть — идемпотент. Положим
, тогда
.
2. Так как — не нильпотентный, то
3). Тогда при канонической проекции
образ
— ненулевой левый идеал
.
Так как артиново слева, то
артиново слева4), поэтому
содержит ненулевой минимальный левый идеал
.
Заметим, что не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, так как нильпотентный идеал состоит из квазирегулярных элементов 5), а потому содержится в радикале Джекобсона
6). Таким образом, мы находимся в условиях предположения предложения 1, и
для некоторого идемпотента
.
Пусть — элемент из прообраза
, тогда
, то есть
, поэтому из нильпотентности
следует, что
— нильпотентный элемент.
Если нильпотентен,
, то
, что невозможно. Тогда из леммы 1 следует, что существует идемпотент
.
Теорема 2. Если ассоциативное кольцо артиново справа и
— не нильпотентный правый идеал в
, то
содержит ненулевой идемпотент.
Теорема 3. Пусть — ассоциативное кольцо и
— идемпотент в
. Тогда
.
Доказательство.
Доказательство.
Покажем, что если — неприводимый левый
-модуль, то либо
, либо
неприводимый левый
-модуль. Пусть
, тогда для любого ненулевого
имеем
.
Из определения радикала Джекобсона следует, что если , то
, но
, а значит,
. Если
, то тем более
. Из соотношения
следует, что
, поэтому
.
Обратно, пусть , тогда
, то есть существует левый квазиобратный элемент
:
. Умножим последнее соотношение слева и справа на
:
. Так как
, то
и
. Поэтому
, то есть
также левый квазиобратный для
. Следовательно,
. Таким образом,
состоит из лево-квазирегулярных элементов кольца
, откуда7)
.
В результате мы доказали, что .
Теорема 4. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— ненулевой идемпотент из
. Тогда
— минимальный левый идеал в
в том и только в том случае, когда
— тело.
Доказательство.
Доказательство.
Пусть — минимальный левый идеал в
, и
,
. Тогда
— левый идеал, содержащийся в
. В силу минимальности имеем
, то есть
для некоторого
. Тогда
, иначе говоря,
.
Обратно, пусть тело. Покажем, что
— минимальный левый идеал. Предположим, что
— ненулевой левый идеал. Тогда
, иначе
, что невозможно по предположению. Тогда для произвольного ненулевого элемента
, имеем
, а значит, в
для него существует обратный
,
. Следовательно,
. Тогда
. Таким образом,
, то есть
— минимальный левый идеал.
Теорема 5. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— ненулевой идемпотент из
. Тогда
— минимальный правый идеал в
в том и только в том случае, когда
— тело.
Следствие 1. Если не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и
— идемпотент в
, то
— минимальный левый идеал в
тогда и только тогда, когда
— минимальный правый идеал.