Идемпотенты в ассоциативном кольце

Описание

Определение 1. Элемент $e\neq 0$ кольца $R$ называется идемпотентом1), если $e^2=e$.

Предложение 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $\rho\neq 0$ — минимальный левый идеал в $R$. Тогда $\rho=Re$ для некоторого идемпотента $e\in R$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Заметим, что $\rho^2\neq0$, иначе $\rho$ нильпотентен, и содержится в ненулевом нильпотентном идеале2). Тогда существует $x\in\rho$ такой, что $\rho x\neq0$. Ясно, что $\rho x$ — левый идеал кольца, поэтому в силу минимальности $\rho$ имеем $\rho=\rho x$. Тогда найдется элемент $e\in\rho$, что $x=ex$. Как следствие, $ex=e^2x$, или $(e-e^2)x=0$.

Пусть $\rho_0=\{y\in\rho|yx=0\}$. Ясно, что $\rho_0$ — левый идеал в $R$, причем $\rho\neq\rho_0$ (иначе $\rho x=0$). Из минимальности $\rho$ следует, что $\rho_0=0$. Но тогда равенство $(e-e^2)x=0$ означает, что $e-e^2=0$, то есть $e=e^2$.

Множество $Re$ — левый идеал в $R$. Так как $e\in\rho$, то $Re\subseteq\rho$. Так как $0\neq e=e^2\in Re$, то $Re\neq 0$. Но тогда $Re=\rho$. $\blacksquare$

Предложение 2. Пусть $ R $ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $\rho\neq 0$ — минимальный правый идеал в $ R $. Тогда $\rho=eR$ для некоторого идемпотента $e\in R$.

Теорема 1. Если ассоциативное кольцо $R$ артиново слева и $\rho\neq 0$ — не нильпотентный левый идеал в $R$, то $\rho$ содержит ненулевой идемпотент.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

1. Лемма. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и для некоторого $a\in R$ элемент $a^2-a$ нильпотентен. Тогда либо элемент $a$ нильпотентен, либо существует такой многочлен с целыми коэффициентами $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$, что элемент $e=aq(a)$ является идемпотентом.

Доказательство. Если $a^2-a$ нильпотентен, то $(a^2-a)^m=0$. Раскроем скобки и перенесем все, кроме $a^m$ в правую часть равенства, получим выражение $a^m=a^{m+1}p(a)$, где $p$ — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда

$a^m=a^{m+1}p(a)=a^map(a)=(a^{m+1}p(a))ap(a)=\ldots=a^{2m}p(a)^m$.

Если $a$ не нильпотент, то

$a^mp(a)\neq 0$ и $(a^mp(a)^m)^2=a^{2m}p(a)^{2m}=(a^{2m}p{a}^m)p{a}^m=a^mp(a)^m$.

То есть $e=a^mp(a)^m$ — идемпотент. Положим $q(a)=a^{m-1}p(a)^m$, тогда $e=aq(a)$.

2. Так как $\rho$ — не нильпотентный, то $\rho\not\subseteq J(R)$3). Тогда при канонической проекции $\pi\colon R\rightarrow R/J(R)$ образ $\pi(\rho)$ — ненулевой левый идеал $R/J(R)$.

Так как $R$ артиново слева, то $R/J(R)$ артиново слева4), поэтому $\pi(\rho)$ содержит ненулевой минимальный левый идеал $\overline{\rho}_0$.

Заметим, что $R/J(R)$ не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, так как нильпотентный идеал состоит из квазирегулярных элементов 5), а потому содержится в радикале Джекобсона $J(R/J(R))=0$6). Таким образом, мы находимся в условиях предположения предложения 1, и $\overline{\rho}_0=R/J(R)\overline{e}$ для некоторого идемпотента $\overline{e}\in R/J(R)$.

Пусть $a\in\rho$ — элемент из прообраза $\overline{e}$, тогда $\pi(a^2-a)=\overline{e}^2-\overline{e}=0$, то есть $a^2-a\in\textrm{ker}~\pi=J(R)$, поэтому из нильпотентности $J(R)$ следует, что $a^2-a$ — нильпотентный элемент.

Если $a$ нильпотентен, $a^m=0$, то $0=\pi(a)^m=\overline{e}^m=\overline{e}$, что невозможно. Тогда из леммы 1 следует, что существует идемпотент $e=aq(a)\in\rho$. $\blacksquare$

Теорема 2. Если ассоциативное кольцо $R$ артиново справа и $\rho\neq 0$ — не нильпотентный правый идеал в $R$, то $\rho$ содержит ненулевой идемпотент.

Теорема 3. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $e$ — идемпотент в $R$. Тогда $J(eRe)=eJ(R)e$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Покажем, что если $M$ — неприводимый левый $R$-модуль, то либо $eM=0$, либо $eM$ неприводимый левый $eRe$-модуль. Пусть $eM\neq0$, тогда для любого ненулевого $em\in eM$ имеем $eRe(em)=eReem=eRem=e(R(em))=eM$.

Из определения радикала Джекобсона следует, что если $eM\neq0$, то $J(eRe)eM=0$, но $J(eRe)e=eJ(eRe)$, а значит, $J(eRe)M=0$. Если $eM=0$, то тем более $J(eRe)M=0$. Из соотношения $J(eRe)M=0$ следует, что $J(eRe)\subseteq J(R)$, поэтому $J(eRe)=eJ(eRe)e\subseteq eJ(R)e$.

Обратно, пусть $a\in eJ(R)e$, тогда $a\in J(R)$, то есть существует левый квазиобратный элемент $a'$: $a+a'+a'a=0$. Умножим последнее соотношение слева и справа на $e$: $eae+ea'e+ea'ae=0$. Так как $a\in eJ(R)e$, то $eae=a$ и $ea'ae=ea'eae=ea'ea$. Поэтому $a+ea'e+ea'ea=0$, то есть $ea'e$ также левый квазиобратный для $a$. Следовательно, $a'=ea'e$. Таким образом, $eJ(R)e$ состоит из лево-квазирегулярных элементов кольца $eRe$, откуда7) $eJ(R)e\subseteq J(eRe)$.

В результате мы доказали, что $J(eRe)=eJ(R)e$. $\blacksquare$

Теорема 4. Пусть $ R $ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $ e $ — ненулевой идемпотент из $ R $. Тогда $Re$ — минимальный левый идеал в $ R $ в том и только в том случае, когда $eRe$тело.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $\rho=Re$ — минимальный левый идеал в $R$, и $eae\neq0$, $eae\in eRe$. Тогда $Reae\neq0$ — левый идеал, содержащийся в $Re$. В силу минимальности имеем $Reae=Re$, то есть $ee=xeae$ для некоторого $x\in R$. Тогда $e=ee=eee=exeae=exeeae$, иначе говоря, $exe=(eae)^{-1}$.

Обратно, пусть $eRe$ тело. Покажем, что $\rho=Re$ — минимальный левый идеал. Предположим, что $\rho_0\subseteq\rho$ — ненулевой левый идеал. Тогда $e\rho_0\neq0$, иначе $\rho_0^2\subseteq \rho\rho_0=Re\rho_0=0$, что невозможно по предположению. Тогда для произвольного ненулевого элемента $ea\in\rho_0\subseteq Re$, имеем $ea=eae\neq0$, а значит, в $eRe$ для него существует обратный $exe$, $exeeae=e$. Следовательно, $xea=e$. Тогда $\rho=Re=Rxea\subseteq Ra\subseteq R\rho_0=\rho_0$. Таким образом, $\rho_0=\rho$, то есть $\rho=Re$ — минимальный левый идеал. $\blacksquare$

Теорема 5. Пусть $ R $ — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и $ e $ — ненулевой идемпотент из $ R $. Тогда $eR$ — минимальный правый идеал в $ R $ в том и только в том случае, когда $eRe$ — тело.

Следствие 1. Если $ R $ не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и $ e $ — идемпотент в $ R $, то $Re$ — минимальный левый идеал в $ R $ тогда и только тогда, когда $eR$ — минимальный правый идеал.

Примеры

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
glossary/ring/element/idempotent.txt · Последние изменения: 30.10.2011 22:39:05 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0