Идемпотенты в ассоциативном кольце
Описание
Определение 1. Элемент кольца
называется идемпотентом1), если
.
Предложение 1. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— минимальный левый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Предложение 2. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— минимальный правый идеал в
. Тогда
для некоторого идемпотента
.
Теорема 1. Если ассоциативное кольцо артиново слева и
— не нильпотентный левый идеал в
, то
содержит ненулевой идемпотент.
Теорема 2. Если ассоциативное кольцо артиново справа и
— не нильпотентный правый идеал в
, то
содержит ненулевой идемпотент.
Теорема 3. Пусть — ассоциативное кольцо и
— идемпотент в
. Тогда
.
Теорема 4. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— ненулевой идемпотент из
. Тогда
— минимальный левый идеал в
в том и только в том случае, когда
— тело.
Теорема 5. Пусть — ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и
— ненулевой идемпотент из
. Тогда
— минимальный правый идеал в
в том и только в том случае, когда
— тело.
Следствие 1. Если не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и
— идемпотент в
, то
— минимальный левый идеал в
тогда и только тогда, когда
— минимальный правый идеал.
Примеры
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.