Плотное кольцо линейных преобразований
Определение
Определение 1. Пусть — векторное пространство над телом
. Пусть кроме того
— подкольцо кольца
линейных преобразований
над
. Говорят, что
— это плотное кольцо линейных преобразований1)
над
, если для любого
, любых элементов
, линейно независимых над
, и любых
существует такой элемент
, что
(
).
Теорема плотности
Пусть — примитивное слева кольцо и
— точный неприводимый левый
-модуль. Если
— централизатор кольца
на модуле
, то по лемме Шура
— тело. Тогда можно рассматривать
как (левое) векторное пространство над
, интерпретируя
как результат действия на
элемента
. Рассмотрим гомоморфизм колец
. Легко убедиться что
и
, то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца
всех линейных преобразований векторного пространства
над телом
.
Лемма 1. Пусть — примитивное слева кольцо,
— точный неприводимый левый
-модуль и
. Пусть кроме того
— конечномерное подпространство
над
. Тогда для любого
существует такой
, что
и
.
Теорема 1. (теорема плотности Джекобсона-Шевалле) Пусть — примитивное слева кольцо,
— точный неприводимый левый
-модуль и
. Тогда
— плотное кольцо линейных преобразований пространства
над
.
Теорема 2. Пусть — примитивное слева кольцо. Тогда для некоторого тела
либо кольцо
изоморфно кольцу
(кольцу всех квадратных матриц порядка
над телом
), либо для любого натурального
существует подкольцо
в
, которое гомоморфно отображается на
.
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.