Плотное кольцо линейных преобразований

Определение

Определение 1. Пусть $V$ — векторное пространство над телом $D$ . Пусть кроме того $R$ — подкольцо кольца $\textrm{End}_D(V)$ линейных преобразований $V$ над $D$ . Говорят, что $R$ — это плотное кольцо линейных преобразований¹⁾ $V$ над $D$ , если для любого $n\in\mathbb{N}$ , любых элементов $v_1,\dots,v_n\in V$ , линейно независимых над $D$ , и любых $w_1,\dots,w_n\in V$ существует такой элемент $r\in R$ , что $r(v_i)=w_i$ ( $i=1,\dots,n$ ).

Теорема плотности

Пусть $R$ — примитивное слева кольцо и $M$ — точный неприводимый левый $R$ -модуль. Если $\Delta=C(M)$ — централизатор кольца $R$ на модуле $M$ , то по лемме Шура $\Delta$ — тело. Тогда можно рассматривать $M$ как (левое) векторное пространство над $\Delta$ , интерпретируя $\alpha m$ как результат действия на $m\in M$ элемента $\alpha\in\Delta\subseteq E(M)$ . Рассмотрим гомоморфизм колец $T:R\rightarrow E(M):a\mapsto T_a$ . Легко убедиться что $\textrm{ker}~T=0$ и $\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)$ , то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца $\textrm{End}_\Delta(M)$ всех линейных преобразований векторного пространства $M$ над телом $\Delta$ .

Лемма 1. Пусть $R$ — примитивное слева кольцо, $M$ — точный неприводимый левый $R$ -модуль и $\Delta=C(M)$ . Пусть кроме того $V$ — конечномерное подпространство $M$ над $\Delta$ . Тогда для любого $m\in M\backslash V$ существует такой $r\in R$ , что $rV=0$ и $rm\neq 0$ .

Теорема 1. (теорема плотности Джекобсона-Шевалле) Пусть $R$ — примитивное слева кольцо, $M$ — точный неприводимый левый $R$ -модуль и $\Delta=C(M)$ . Тогда $R$ — плотное кольцо линейных преобразований пространства $M$ над $\Delta$ .

Теорема 2. Пусть $R$ — примитивное слева кольцо. Тогда для некоторого тела $\Delta'$ либо кольцо $R$ изоморфно кольцу $\textrm{Mat}_n(\Delta')$ (кольцу всех квадратных матриц порядка $n$ над телом $\Delta'$ ), либо для любого натурального $m$ существует подкольцо $S_m$ в $R$ , которое гомоморфно отображается на $\textrm{Mat}_m(\Delta')$ .