Плотное кольцо линейных преобразований

Определение

Определение 1. Пусть $ V $векторное пространство над телом $ D $. Пусть кроме того $ R $подкольцо кольца $\textrm{End}_D(V)$ линейных преобразований $ V $ над $ D $. Говорят, что $ R $ — это плотное кольцо линейных преобразований1) $ V $ над $ D $, если для любого $n\in\mathbb{N}$, любых элементов $v_1,\dots,v_n\in V$, линейно независимых над $ D $, и любых $w_1,\dots,w_n\in V$ существует такой элемент $r\in R$, что $r(v_i)=w_i$ ($i=1,\dots,n$).

Теорема плотности

Пусть $ R $примитивное слева кольцо и $ M $точный неприводимый левый $ R $-модуль. Если $\Delta=C(M)$ — централизатор кольца $ R $ на модуле $ M $, то по лемме Шура $\Delta$ — тело. Тогда можно рассматривать $ M $ как (левое) векторное пространство над $\Delta$, интерпретируя $\alpha m$ как результат действия на $m\in M$ элемента $\alpha\in\Delta\subseteq E(M)$. Рассмотрим гомоморфизм колец $T:R\rightarrow E(M):a\mapsto T_a$. Легко убедиться что $\textrm{ker}~T=0$ и $\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)$, то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца $\textrm{End}_\Delta(M)$ всех линейных преобразований векторного пространства $ M $ над телом $\Delta$.

Лемма 1. Пусть $ R $ — примитивное слева кольцо, $ M $ — точный неприводимый левый $ R $-модуль и $\Delta=C(M)$. Пусть кроме того $ V $ — конечномерное подпространство $ M $ над $\Delta$. Тогда для любого $m\in M\backslash V$ существует такой $r\in R$, что $rV=0$ и $rm\neq 0$.

Теорема 1. (теорема плотности Джекобсона-Шевалле) Пусть $ R $ — примитивное слева кольцо, $ M $ — точный неприводимый левый $ R $-модуль и $\Delta=C(M)$. Тогда $ R $ — плотное кольцо линейных преобразований пространства $ M $ над $\Delta$.

Теорема 2. Пусть $ R $ — примитивное слева кольцо. Тогда для некоторого тела $\Delta'$ либо кольцо $ R $ изоморфно кольцу $\textrm{Mat}_n(\Delta')$ (кольцу всех квадратных матриц порядка $ n $ над телом $\Delta'$), либо для любого натурального $ m $ существует подкольцо $S_m$ в $ R $, которое гомоморфно отображается на $\textrm{Mat}_m(\Delta')$.

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) dense ring of linear transformations
glossary/ring/dense.txt · Последние изменения: 09.10.2011 16:24:43 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0