Содержание
Инъективный модуль
Определение инъективного модуля
Пусть — ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Модуль1) над кольцом
называется инъективным2), если для любого гомоморфизма
-модулей
и любого инъективного гомоморфизма
-модулей
существует гомоморфизм
-модулей
такой, что
, то есть коммутативна диаграмма
Свойства инъективных модулей
Предложение 1. Прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда, когда инъективен каждый сомножитель.
Предложение 2. Левый модуль инъективен тогда и только тогда, когда для каждого левого идеала
кольца
и гомоморфизма левых
-модулей
существует такой элемент
, что
для любого
.
Предложение 2'. Правый модуль инъективен тогда и только тогда, когда для каждого правого идеала
кольца
и гомоморфизма правых
-модулей
существует такой элемент
, что
для любого
.
Предложение 3. Для любого модуля существует точная последовательность
с инъективным модулем
.
Предложение 4. Модуль инъективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность
-модулей
расщепляема.
Примеры
- Абелева группа
как левый модуль над кольцом
инъективна.
Литература
- Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.