Инъективный модуль

Определение инъективного модуля

Пусть $ A $ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Модуль1) $Q$ над кольцом $A$ называется инъективным2), если для любого гомоморфизма $A$-модулей $f\colon N'\rightarrow Q$ и любого инъективного гомоморфизма $A$-модулей $g\colon N'\rightarrow N$ существует гомоморфизм $A$-модулей $h\colon N\rightarrow Q$ такой, что $f=h\circ g$, то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node{0}\arrow[2]{e}\node[2]{N'}\arrow[2]{e,t}{g}\arrow[2]{s,l}{f}\node[2]{N}\arrow[2]{sw,r}{h}\\ \\ \node[3]{Q.}\end{diagram}$

Свойства инъективных модулей

Предложение 1. Прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда, когда инъективен каждый сомножитель.

Предложение 2. Левый модуль $Q$ инъективен тогда и только тогда, когда для каждого левого идеала $ I $ кольца $ A $ и гомоморфизма левых $ A $-модулей $f\colon I\rightarrow Q$ существует такой элемент $g\in Q$, что $f(x)=xg$ для любого $x\in I$.

Предложение 2'. Правый модуль $Q$ инъективен тогда и только тогда, когда для каждого правого идеала $ I $ кольца $ A $ и гомоморфизма правых $ A $-модулей $f\colon I\rightarrow Q$ существует такой элемент $g\in Q$, что $f(x)=gx$ для любого $x\in I$.

Предложение 3. Для любого модуля $ N $ существует точная последовательность $0\rightarrow N\rightarrow Q\rightarrow M\rightarrow 0$ с инъективным модулем $ Q $.

Предложение 4. Модуль $ Q $ инъективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность $ A $-модулей $0\rightarrow Q\rightarrow N\rightarrow N''\rightarrow 0$ расщепляема.

Примеры

  • Абелева группа $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ как левый модуль над кольцом $\mathbb{Z}$ инъективна.
  • $ A $-модуль $\textrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(A,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$3) является инъективным.

Литература

1) левый или правый
2) injective module
3) $ A $ действует на $\textrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(A,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ по правилу: $(af)(x)=f(xa)$
glossary/module/injective/left.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:53:33 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0