Содержание
Индуцированный модуль
Определение
Пусть — алгебра Ли над полем , — подалгебра в , — произвольный левый -модуль. и — универсальные обертывающие алгебры для и соответственно.
Определение 1. Тензорное произведение1) называется -модулем, индуцированным -модулем 2) и обозначается символом . Индуцированный модуль наделен структурой -модуля по правилу:
, где и .
Модуль вкладывается в модуль : — гомоморфизм левых -модулей. Иначе говоря, как -модуль порождается подмодулем .
Свойство универсальности
Предложение 1. Пусть — левый -модуль. Для произвольного левого -модуля и гомоморфизма левых -модулей существует единственный гомоморфизм -модулей , продолжающий . То есть коммутативна диаграмма
.
Отображение задает биекцию3) множества на множество .
Замечание 1. Предложение 1 — ни что иное, как свойство универсальности тензорного произведения.
Свойства индуцированных модулей
Предложение 2. Пусть — левый -модуль и — его -подмодуль. Тогда
— -подмодуль в
и
изоморфен фактормодулю .
Предложение 3. Пусть — подалгебра конечномерной алгебры Ли 4), и — базис в такой, что элементы образуют базис , а , соответственно, образуют базис дополнительного пространства к . Тогда для левого -модуля справедливо свойство
— это прямая сумма .
Литература
- Диксмье Ж. «Универсальные обертывающие алгебры», Мир, 1978.