Индуцированный модуль

Определение

Пусть $L$алгебра Ли над полем $F$, $H$подалгебра в $L$, $W$ — произвольный левый $H$-модуль. $\mathcal{U}(L)$ и $\mathcal{U}(H)$универсальные обертывающие алгебры для $L$ и $H$ соответственно.

Определение 1. Тензорное произведение1) $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ называется $L$-модулем, индуцированным $H$-модулем $W$2) и обозначается символом $\textrm{ind}_H(W,L)$. Индуцированный модуль $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ наделен структурой $\mathcal{U}(L)$-модуля по правилу:

$u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w$, где $u,x\in\mathcal{U}(L)$ и $w\in W$.

Модуль $W$ вкладывается в модуль $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$: $w\mapsto 1\otimes w$гомоморфизм левых $H$-модулей. Иначе говоря, $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ как $\mathcal{U}(L)$-модуль порождается подмодулем $W\cong\mathcal{U}(H)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$.

Свойство универсальности

Предложение 1. Пусть $W$ — левый $H$-модуль. Для произвольного левого $L$-модуля $V$ и гомоморфизма левых $H$-модулей $\psi\colon W\rightarrow V$ существует единственный гомоморфизм $L$-модулей $\varphi\colon\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W\rightarrow V$, продолжающий $\psi$. То есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node[2]{W}\arrow[2]{e,t}{\psi}\arrow[2]{s}\node[2]{V}\\ \\ \node[2]{\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W}\arrow[2]{ne,r}{\phi}\end{diagram}$.

Отображение $\psi\mapsto\varphi$ задает биекцию3) множества $\textrm{Hom}_{H}(W,V)$ на множество $\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)$.

Замечание 1. Предложение 1 — ни что иное, как свойство универсальности тензорного произведения.

Свойства индуцированных модулей

Предложение 2. Пусть $W$ — левый $H$-модуль и $W'$ — его $H$-подмодуль. Тогда

$\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'$$L$-подмодуль в $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$

и

$\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}(W/W')$ изоморфен фактормодулю $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W/\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W'$.

Предложение 3. Пусть $H$ — подалгебра конечномерной алгебры Ли $L$4), и $\{l_1,\ldots,l_k, l_{k+1},\ldots,l_n\}$базис в $L$ такой, что элементы $l_{k+1},\ldots,l_n$ образуют базис $H$, а $l_1,\ldots,l_k$, соответственно, образуют базис дополнительного пространства к $H$. Тогда для левого $H$-модуля $W$ справедливо свойство

Литература

  • Диксмье Ж. «Универсальные обертывающие алгебры», Мир, 1978.
1) Оно определено, так как $\mathcal{U}(L)$ можно рассматривать как правый $\mathcal{U}(H)$-модуль.
2) induced module
3) Это отображение можно рассматривать как изоморфизм векторных пространств над полем $F$. Обратите внимание, что $\textrm{Hom}_{H}(W,V)$ — это $H$-модуль, а $\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)$$L$-модуль.
4) над полем $F$
glossary/module/induced.txt · Последние изменения: 16.03.2013 10:16:23 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0