Содержание
Циклическая группа
проверено
Оределение
Определение 1. Группа называется циклической1), если существует такой элемент
, что любой элемент
записывается в виде
для некоторого
. При этом элемент
называется образующей2) циклической группы.
Замечание 1. В случае, если циклическая группа записана аддитивно, то каждый ее элемент представляется в виде для некоторого
.
Пример 1. Множество целых чисел является циклической группой бесконечного порядка с образующим, равным 1.
Предложение 1. Любая циклическая группа абелева.
Предложение 2. Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.
Пример 2. Группа классов вычетов по модулю является циклической группой порядка
с образующим
.
Предложение 2. Все циклические группы исчерпываются двумя предыдущими примерами с точностью до изоморфизма.