Форма Киллинга

Определение

Определение 1. Пусть $L$конечномерная свободная алгебра Ли над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$. Формой Киллинга1) алгебры Ли $L$ называется симметрическая билинейная форма $\kappa$ на $L$, определенная формулой

$\kappa(x,y)=\textrm{tr}(\textrm{ad}~x\circ\textrm{ad}~y)$ для любых $x,y\in L$,

где $\textrm{tr}~\varphi$ обозначает след линейного оператора2) $\varphi$.

Замечание.

Замечание.

Замечание.

Пусть $M$ — конечномерный свободный унитарный модуль над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$. Тогда отображение $B\colon\textrm{End}~M\times\textrm{End}~M\rightarrow R$, определенное формулой

$B(f,g)=\textrm{tr}(f\circ g)$,

является симметрической билинейной формой на пространстве эндоморфизмов $\textrm{End}~M$ модуля $M$. Билинейность следует из линейности отображения $\textrm{tr}\colon\textrm{End}M\rightarrow R$ (см. свойства следа). Симметричность следует из того, что для конечномерного свободного модуля $M$ матрицы $A_f\circ A_g$ и $ A_g\circ A_f$ произведений эндоморфизмов $f\circ g$ и $g\circ f$, соответственно, равны $\underset{i,j}{\sum}a_{ij}b_{ji}$.

Предложение 1. Форма Киллинга инвариантна, то есть

$\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])$ для любых $x,y,z\in L$.

Литература

1) Killing form
2) который здесь вообще-то определен для векторных пространств
glossary/algebra/lie/form/killing.txt · Последние изменения: 14.09.2011 01:02:29 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0