Определение 1. Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и является -алгеброй с умножением :
для всех .
Будем говорить, что — это алгебра Ли1) над , если выполнены условия:
Пример 1. Пространство с операцией векторного произведения является алгеброй Ли.
Пример 2. Целый класс примеров алгебр Ли доставляют классические алгебры Ли.
Определение 2. Два элемента алгебры Ли называются коммутирующими3), если .
Определение 3. Алгебра Ли называется абелевой4), если любые два ее элемента коммутируют:
для всех .
Определение 4. Алгебра Ли называется простой5), если и не имеет собственных идеалов.
Определение 5. Пусть — конечномерная алгебра Ли над полем с базисом .6) Тогда произведение любых двух элементов из базиса можно записать в виде . Элементы называются структурными константами алгебры Ли7).
Предложение 1. Набор элементов из поля является набором структурных констант некоторой алгебры Ли тогда и только тогда, когда выполнены условия
Пусть — произвольная ассоциативная алгебра с операцией умножения над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей .
Определение 6. На можно задать структуру алгебры Ли по следующему правилу: . При этом алгебру с умножением обозначают через и называют алгеброй Ли ассоциативной алгебры8) .
Пример 3. Пусть — ассоциативная алгебра матриц порядка над полем . Операция коммутирования: , где наделяет структурой алгебры Ли.
Пример 4. Пусть — векторное пространство над полем , и — ассоциативная алгебра линейных операторов на , где операцией умножения является композиция линейных операторов. Алгебра Ли ассоциативной алгебры называется полной линейной алгеброй.
Пример 5. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры.
Пример 6. Алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли .