Корни многочлена
Значение многочлена
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, содержащееся в коммутативном целостном кольце , и — кольцо многочленов от одной переменной.
Предложение 1. Для каждого элемента существует единственный гомоморфизм колец такой, что
- для всех ;
- .
Определение 1. Результат применения отображения к многочлену , то есть выражение , называется значением многочлена1) при .
Пример 1. Пусть — многочлен над полем действительных чисел. Тогда его значение при — это .
Корень многочлена
Определение 2. Элемент называется корнем многочлена2) из кольца многочленов , если
.
Замечание 1. Операции сложения и умножения при вычислении выражения производятся в кольце .
Пример 2. Рациональное число является корнем многочлена с целыми коэффициентами .
Пример 3. Мнимая единица является корнем многочлена .
Теорема Безу
Теорема 1.(Теорема Безу) Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делит в кольце .