Содержание

Схема

Схема

Аффинная схема

Определение 1. Аффинной схемой¹⁾ называется локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O}_X)$ , изоморфное спектру некоторого кольца²⁾.

Определение 2. Схемой³⁾ называется локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O}_X)$ , каждая точка которого обладает окрестностью $U$ , что пара $(U,\mathcal{O}_{X\vert U})$ , где $\mathcal{O}_{X\vert U}$ — ограничение пучка $\mathcal{O}_X$ на $U$ , является аффинной схемой. Пространство $X$ называется базисным топологическим пространством⁴⁾ схемы, а пучок $\mathcal{O}_X$ — структурным пучком⁵⁾ схемы $(X,\mathcal{O}_X)$ .

Пример 1. Пусть $F$ — поле. Тогда $\textrm{Spec}~F=\{(0)\}$ — это аффинная схема со структурным пучком $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}$ , где $\mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}(\textrm{Spec}~F)=F$ .

Определение 3. Схема $X$ называется связной, если ее топологическое пространство связно.

Определение 4. Схема $X$ называется неприводимой, если ее топологическое пространство неприводимо.

Приведенная схема

Определение 5. Схема $X$ называется приведенной⁶⁾, если ни для какого открытого $U\subseteq X$ кольцо $\mathcal{O}_X(U)$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Предложение 1. Схема $X$ приведена тогда и только тогда, когда в каждой точке $P\in X$ локальное кольцо $\mathcal{O}_{X,P}$ не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Доказательство.

Предположим, что схема $X$ приведена. Если для некоторого ростка $\overline{f}$ в точке $P$ справедливо равенство $\overline{f}^n=0$ , то это означает, что $f^n=0$ , где $f\in\mathcal{O}_X(U)$ . В силу предположения о приведенности схемы имеем $f=0$ , а значит, $\overline{f}=0$ .

Обратно, предположим, что для некоторого $f\in\mathcal{O}_X(U)$ имеет место соотношение $f^n=0$ . Тогда для любой точки $P\in U$ росток $f$ в этой точке нильпотентен, а значит, $f_{|V}=0$ для открытого $V\subseteq U$ , $P\in V$ . Из аксиом пучка следует, что $f=0$ . $\blacksquare$

Целая схема

Определение 6. Схема $X$ называется целой, если для любого открытого $U\subseteq X$ кольцо $\mathcal{O}_X(U)$ является целостным.

Предложение 2. Схема $X$ является целой тогда и только тогда, когда она приведена и неприводима. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Если схема целая, то для любого открытого <latex>U</latex> кольцо <latex>\mathcal{O}_X(U)</latex> не имеет делителей нуля, а потому не имеет ненулевых нильпотентов, то есть <latex>X</latex> — приведенная схема. Если при этом схема не является неприводимой, то найдутся открытые непересекающиеся подмножества <latex>U_1</latex> и <latex>U_2</latex>. Кольцо <latex>\mathcal{O}(U_1\cup U_2)\cong\mathcal{O}(U_1)\times\mathcal{O}(U_2)</latex>, очевидно, содержит делители нуля⁷⁾, но тогда схема <latex>X</latex> не цела. Обратно, пусть <latex>X</latex> приведена и неприводима. <latex>\blacksquare</latex> </hidden>

Нетерова схема

Определение 7. Схема $(X,\mathcal{O}_X)$ называется локально нетеровой, если она допускает покрытие открытыми подмножествами $U_i$ , где $U_i=\textrm{Spec}~A_i$ — аффинная схема, и кольцо $A_i$ нетерово.

Определение 8. Схема называется нетеровой, если она локально нетерова и квазикомпактна.

Предложение 3. Схема $X$ локально нетерова тогда и только тогда, когда для любого открытого аффинного подмножества $U=\textrm{Spec}~A$ кольцо $A$ нетерово. В частности, аффинная схема $X=\textrm{Spec}~A$ нетерова тогда и только тогда, когда кольцо $A$ нетерово. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Заметим, что нужно доказывать только утверждение «туда», так как в обратную сторону оно следует непосредственно из определения. Пусть схема локально нетерова. Покажем, что для любого открытого аффинного <latex>U=\textrm{Spec}~A</latex> кольцо <latex>A</latex> нетерово. <latex>\blacksquare</latex> </hidden>

Литература

Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.

алгебраическая геометрия, аффинная схема, базисное топологическое пространство, локально окольцованное пространство, нетерова схема, приведенная схема, структурный пучок, схема

¹⁾

affine scheme

²⁾

коммутативного ассоциативного с единицей

³⁾

scheme

⁴⁾

base topological space

⁵⁾

structure sheaf

⁶⁾

reductive scheme

⁷⁾

$(0,1)\cdot(1,0)=(0,0)$

glossary/topology/scheme.txt · Последние изменения: 18.10.2011 23:10:47 — Ладилова Анна

Наверх