Тензорная алгебра

проверено

Определение

Пусть $M$ — левый унитарный модуль над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей $R$ и пусть $T^r(M)=\underbrace{M\otimes\ldots\otimes M}_r$ — тензорное произведение модулей $M$ , взятое $r$ раз, $r>0$ . Положим $T^0(M)=R$ .

Определение 1. Тензорной алгеброй¹⁾ над модулем $M$ называется левый $R$ -модуль

$T(M)=T^0(M)\oplus T^1(M)\oplus T^2(M)\oplus\ldots\oplus T^r(M)\oplus\ldots$

с операцией умножения $\otimes$ , определенной правилом:

$(e_1\otimes\ldots\otimes e_r)\otimes(f_1\otimes\ldots\otimes f_q)=e_1\otimes\ldots\otimes e_r\otimes f_1\otimes\ldots\otimes f_q\in T^{r+q}(M)$

для произвольных $e_1\otimes e_2\otimes\ldots\otimes e_r\in T^r(M),\ f_1\otimes f_2\otimes\ldots\otimes f_q\in T^q(M)$ .

Замечание 1. Операция $\otimes$ задает на модуле $T(M)$ структуру $R$ -алгебры²⁾.

Тензорная алгебра над свободным модулем

Предположим, что $R$ -модуль $M$ — свободный и конечномерный с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$ . В этом случае элементы вида $e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r}$ образуют базис модуля $T^r(M),r>0$ и каждый элемент из $T(M)$ имеет единственное представление в виде конечной суммы $a_0+\underset{r>0}{\sum}a_{i_1\ldots i_r}e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r}$ . То есть $T(M)$ — свободный бесконечномерный $R$ -модуль.

Предложение 1. Если модуль $M$ одномерен, то тензорная алгебра $T(M)$ изоморфна алгебре многочленов от одной переменной $R[T]$ . При этом элементу $\underbrace{m\otimes\ldots\otimes m}_r\in T^r(M)$ ставится в соответствие $T^r\in R[T]$ .