Пусть — ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом , и — бимодуль над .
Заметим, что — это -модуль, и, в частности, также -модуль.
Определение 1. Определим комплекс Хохшильда1) как набор модулей 2), , и набор гомоморфизмов , заданных формулой
.
Предложение 1. Для определенных выше гомоморфизмов справедливо равенство , то есть последовательность
является комплексом.
Определение 2. Гомологии комплекса Хохшильда -бимодуля называют гомологиями Хохшильда3) ассоциативной -алгебры с коэффициентами в и обозначают .
Пример 1. Нулевая группа гомологий .