Определение 1. Категория1) включает в себя
Множество морфизмов из в обозначается или .
Пример 1. Категория множеств . Объектами этой категории являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Легко проверить, что аксиомы категории выполнены.
Пример 2. Категория групп . Объектами являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп.
Пример 3. Категория топологических пространств . Объектами являются топологические пространства, а морфизмами — непрерывные отображения топологических пространств.
Определение 2. Подкатегория категории — это совокупность некоторых объектов и морфизмов из такая, что
Определение 3. Подкатегория категории называется полной9), если для произвольных выполнено: .
Определение 4. Морфизм называется мономорфизмом10), или мономорфной стрелкой11), если для любых двух морфизмов из равенства следует .
Определение 5. Морфизм называется эпиморфизмом12), или эпиморфной стрелкой13), если для любых двух морфизмов из равенства следует .
Определение 6. Морфизм называется биморфизмом14), если он одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом.
Определение 7. Морфизм называется изоморфизмом15), если существует морфизм такой, что и являются тождественными морфизмами в и соответственно.
Заметим, что всякий изоморфизм является биморфизмом. Обратное, вообще говоря, не имеет места. Действительно, в категории моноидов гомоморфизм является биморфизмом, но не является изоморфизмом.
Определение 8. Морфизмы объекта в себя называются эндоморфизмами16). Множество эндоморфизмов объекта обозначается символом . Из аксиом категории вытекает, что — моноид.
Определение 9. Изоморфизмы объекта в себя называются автоморфизмами17). Множество автоморфизмов объекта обозначается символом . Это множество в действительности является группой.