Ранг матрицы
Метод окаймляющих миноров
Задача 1. Найти ранг матрицы
методом окаймляющих миноров.
Решение. Метод окаймляющих миноров позволяет найти минорный ранг матрицы.
- Выберем ненулевой минор
порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.
- Чтобы найти окаймляющий минор для
, нужно к нему добавить по одной строке и одному столбцу. То есть минор второго порядка
, окаймляющий
должен содержать первую строку и первый столбец матрицы. Таких миноров несколько, выберем любой из них, не равный нулю. Например,
, построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.
- Далее ищем ненулевой минор третьего порядка
, окаймляющий
. Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам — 2-й столбец. Получим
.
- Пытаемся найти ненулевой окаймляющий минор для
. Для этого перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
- на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:
,
- на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:
.
Получается, что все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка ненулевой, поэтому ранг матрицы равен 3.
Задача 2. Определить ранг матрицы
при различных значениях .
Решение. Решим задачу с помощью метода окаймляющих миноров.
- Выберем минор порядка 1, стоящий на 1-й строке в 1-м столбце, то есть левый верхний.
.
- Выберем минор порядка 2, окаймляющий
, добавив 2-ю строку и 4-й столбец.
. Он отличен от нуля, поэтому ранг
. Заметим, что ранг не может быть больше трех, так как матрица содержит три строки. Таким образом, возможны два варианта:
или
.
- Предположим, что
, тогда окаймляющие миноры третьего порядка для
должны быть равны нулю, то есть мы
требуем
, чтобы;
.
По правилу треугольника получаем, что ;
.
Таким образом, при всех значениях
, являющихся решением системы
Очевидно, что единственным решением этой системы является , поэтому
- ранг
при
и
при
.
Метод элементарных преобразований
Какие преобразования матриц называются элементарными, можно прочитать в определении 3.
Задача 3. Найти ранг матрицы
методом элементарных преобразований.
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду.
- Прибавив ко второй строке первую, умноженную на -1, получим матрицу
.
- Прибавив к третьей строке первую, умноженную на -2, получим матрицу
.
- Прибавив к четвертой строке первую, умноженную на -2, получим матрицу
.
- Прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на 3, получим
.
- Прибавляя к четвертой строке вторую, умноженную на 4, получим
.
- Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида
.
- Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3 — числу ненулевых строк. Так как элементарные преобразования не меняют ранга матрицы (предложение 1), то ранг исходной матрицы равен 3.