Ранг матрицы
Метод окаймляющих миноров
Задача 1. Найти ранг матрицы
методом окаймляющих миноров.
Решение. Метод окаймляющих миноров позволяет найти минорный ранг матрицы.
- Выберем ненулевой минор порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.
- Чтобы найти окаймляющий минор для , нужно к нему добавить по одной строке и одному столбцу. То есть минор второго порядка , окаймляющий должен содержать первую строку и первый столбец матрицы. Таких миноров несколько, выберем любой из них, не равный нулю. Например, , построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.
- Далее ищем ненулевой минор третьего порядка , окаймляющий . Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам — 2-й столбец. Получим .
- Пытаемся найти ненулевой окаймляющий минор для . Для этого перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
- на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:
, - на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:
.
Получается, что все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка ненулевой, поэтому ранг матрицы равен 3.
Задача 2. Определить ранг матрицы
при различных значениях .
Решение. Решим задачу с помощью метода окаймляющих миноров.
- Выберем минор порядка 1, стоящий на 1-й строке в 1-м столбце, то есть левый верхний. .
- Выберем минор порядка 2, окаймляющий , добавив 2-ю строку и 4-й столбец. . Он отличен от нуля, поэтому ранг . Заметим, что ранг не может быть больше трех, так как матрица содержит три строки. Таким образом, возможны два варианта: или .
- Предположим, что , тогда окаймляющие миноры третьего порядка для должны быть равны нулю, то есть мы
требуем
, чтобы- ;
- .
По правилу треугольника получаем, что ;
.
Таким образом, при всех значениях , являющихся решением системы
Очевидно, что единственным решением этой системы является , поэтому
- ранг при и
- при .
Метод элементарных преобразований
Какие преобразования матриц называются элементарными, можно прочитать в определении 3.
Задача 3. Найти ранг матрицы
методом элементарных преобразований.
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду.
- Прибавив ко второй строке первую, умноженную на -1, получим матрицу
. - Прибавив к третьей строке первую, умноженную на -2, получим матрицу
. - Прибавив к четвертой строке первую, умноженную на -2, получим матрицу
. - Прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на 3, получим
. - Прибавляя к четвертой строке вторую, умноженную на 4, получим
. - Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида
. - Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3 — числу ненулевых строк. Так как элементарные преобразования не меняют ранга матрицы (предложение 1), то ранг исходной матрицы равен 3.