Линейная зависимость

Задача 1. Является ли система векторов линейно зависимой?

$\begin{matrix}\mathbf{a}=(5,4,3);\\\mathbf{b}=(3,3,2);\\\mathbf{c}=(8,1,3).\end{matrix}$

Решение. Составим матрицу, строки которой — вектора $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ :

$M=\begin{pmatrix}5 & 4 & 3\\3 & 3 & 2\\8 & 1 & 3\end{pmatrix}$ .

Система линейно независима если горизонтальный ранг этой матрицы будет равен числу векторов, то есть 3. Вспомним, что горизонтальный ранг равен рангу матрицы (определение 6 и теорема 1).

Вычислим ранг матрицы $M$ методом окаймляющих миноров. Выберем минор $M_1=5$ порядка 1 — левый верхний элемент матрицы. Окаймляющий его минор второго порядка $M_2=\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 3\end{vmatrix}$ , построенный на 1-й и 2-й строках и 1-м и 2-м столбцах, равен 3. Единственный минор третьего порядка — это определитель матрицы $M$ . По правилу треугольника $\begin{vmatrix}5 & 4 & 3\\3 & 3 & 2\\8 & 1 & 3\end{vmatrix}=5\cdot3\cdot3+4\cdot2\cdot8+3\cdot1\cdot3-3\cdot3\cdot8-4\cdot3\cdot3-5\cdot2\cdot1=0$ .Таким образом, максимальный порядок ненулевого минора — 2.

Ранг матрицы равен двум, поэтому система линейно зависима.

линейная зависимость

solved/algebra/linear/independent.txt · Последние изменения: 17.01.2011 02:04:18 — Ладилова Анна

Наверх