Полное метрическое пространство

проверено

Фундаментальная последовательность

Пусть $(X,\rho)$метрическое пространство.

Определение 1. Фундаментальной последовательностью1), или последовательностью Коши2) называется такая последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ элементов из $ X $, что для заданного действительного числа $\varepsilon>0$ существует $n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$, что для всех $n,m>n_{\varepsilon}$ выполнено неравенство: $\rho(x_n,x_m)<\varepsilon$.

Полное метрическое пространство

Определение 2. Метрическое пространство $(X,\rho)$ называется полным3), если любая фундаментальная последовательность из $ X $ сходится.

Пример 1. Метрическое пространство $X=\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}^1$ не является полным, так как в нем существует последовательность $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$, сходящаяся к иррациональному числу $e$.

Пример 2. Метрическое пространство $\mathbb{R}^n$ является полным.

Литература

1)
fundamental sequence
2)
Cauchy sequence
3)
complete
glossary/topology/sequence/fundamental.txt · Последние изменения: 09.01.2011 18:01:01 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0