Содержание

Метрическое пространство

Метрическое пространство

Метрика на множестве

Определение 1. Пусть $M$ — произвольное множество, $\rho:M\times M\rightarrow\mathbb{R}$ — функция, удовлетворяющая следующим условиям:

положительная определенность:
$\rho(x,y)\geqslant 0$ для всех $x, y\in M$ , причем $\rho(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$ ;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)\geqslant 0\wedge(\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y)</latex>;
симметричность:
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$ для всех $x, y\in M$ ;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)=\rho(y,x)</latex>;
неравенство треугольника:
$\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)$ для всех $x,y,z\in M$ .<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M)(\forall z\in M):\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)</latex>.

Тогда пара $(M,\rho)$ называется метрическим пространством¹⁾, а функция $\rho$ — метрикой²⁾, или функцией расстояния³⁾. Число $\rho(x,y)$ называется расстоянием⁴⁾ между точками $x$ и $y$ .

Метрическая топология

Определение 2. Открытым шаром⁵⁾ в метрическом пространстве $(M,\rho)$ радиуса $\varepsilon>0$ с центром в точке $a\in M$ называется множество $D_\varepsilon(a)=\{x\in M\vert\rho(x,a)<\varepsilon\}$ .

Теорема 1. Пусть $(M,\rho)$ — произвольное метрическое пространство. Тогда семейство $\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,\varepsilon>0\}$ образует базу некоторой топологии на $M$ . Эта топология называется метрической⁶⁾ и обозначается $\tau_\rho$ .

Пример 1. Пусть $M=\mathbb{R}^n$ . Тогда функция $\rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ определяет метрику на $\mathbb{R}^n$ . Таким образом, $(\mathbb{R}^n,\rho_U)$ — метрическое пространство, а базу топологии на $\mathbb{R}^n$ задает множество открытых шаров $\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}$ .

Определение 3. Топологическое пространство $(X,\tau)$ называется метризуемым⁷⁾, если на нем можно ввести метрику $\rho$ , такую что $\tau=\tau_\rho$ . В противном случае $(X,\tau)$ — не метризуемое⁸⁾.

Пример 2. Пусть $X$ — произвольное множество и $\rho_D(x,y)=\begin{cases}0, & x=y\\ 1, & x\neq y\end{cases}$ . Тогда $(X,\rho_D)$ является метрическим пространством, причем метрическая топология $\tau_{\rho_D}$ совпадает с дискретной топологией $\tau_D$ на $X$ . Таким образом, $(X,\tau_D)$ — метризуемое топологическое пространство.

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

¹⁾ metric domain, metric space

²⁾ metric

³⁾ distance function

⁴⁾ distance

⁵⁾ open ball

⁶⁾ metric topology

⁷⁾ metrizable space

⁸⁾ nonmetrizable space

glossary/topology/metric.txt · Последние изменения: 08.10.2013 21:33:49 — ladilova

Наверх