Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:topology:induced [08.01.2011 09:10:12]
Ладилова Анна
glossary:topology:induced [09.01.2011 17:56:46] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Индуцированная топология ====== ====== Индуцированная топология ======
-===== Описание =====+<wrap hide>​проверено</​wrap>​ 
 +===== Определение =====
 Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- [[:​glossary:​topology|топологическое пространство]],​ <​latex>​A\subset X</​latex>​ --- непустое [[:​glossary:​set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <​latex>​\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</​latex>​ множества <​latex>​ A </​latex>​. Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- [[:​glossary:​topology|топологическое пространство]],​ <​latex>​A\subset X</​latex>​ --- непустое [[:​glossary:​set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <​latex>​\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</​latex>​ множества <​latex>​ A </​latex>​.
  
Строка 6: Строка 7:
  
 __Определение 1.__ Семейство подмножеств <​latex>​\tau_A</​latex>​ называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <​latex>​ A </​latex>,​ а топологическое пространство <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>​ --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​. __Определение 1.__ Семейство подмножеств <​latex>​\tau_A</​latex>​ называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <​latex>​ A </​latex>,​ а топологическое пространство <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>​ --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​.
 +
 +__Пример 1.__ Пусть задано топологическое пространство <​latex>​(\mathbb{R},​\tau_U)</​latex>​. Индуцированной топологией на множестве <​latex>​\mathbb{N}</​latex>​ является [[:​glossary:​topology|дискретная топология]].
  
 __Предложение 2.__ Пусть <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>​ --- подпространство топологического пространства <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​. Пусть, кроме того, <​latex>​G\subset A</​latex>​. Тогда <​latex>​ G </​latex>​ замкнуто в <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>,​ если и только если существует множество <​latex>​ F </​latex>,​ замкнутое в <​latex>​(X,​\tau)</​latex>,​ такое что <​latex>​G=F\cap A</​latex>​. __Предложение 2.__ Пусть <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>​ --- подпространство топологического пространства <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​. Пусть, кроме того, <​latex>​G\subset A</​latex>​. Тогда <​latex>​ G </​latex>​ замкнуто в <​latex>​(A,​\tau_A)</​latex>,​ если и только если существует множество <​latex>​ F </​latex>,​ замкнутое в <​latex>​(X,​\tau)</​latex>,​ такое что <​latex>​G=F\cap A</​latex>​.
  
 __Предложение 3.__ Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- топологическое пространство и <​latex>​B\subset A\subset X</​latex>​. Тогда <​latex>​\tau_B=(\tau_A)_B</​latex>​. __Предложение 3.__ Пусть <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- топологическое пространство и <​latex>​B\subset A\subset X</​latex>​. Тогда <​latex>​\tau_B=(\tau_A)_B</​latex>​.
-===== Примеры ===== 
-  * Пусть задано топологическое пространство <​latex>​(\mathbb{R},​\tau_U)</​latex>​. Индуцированной топологией на множестве <​latex>​\mathbb{N}</​latex>​ является [[:​glossary:​topology|дискретная топология]]. 
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​97679/?​partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию»,​ Наука, 1995.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​97679/?​partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию»,​ Наука, 1995.]]
glossary/topology/induced.txt · Последние изменения: 09.01.2011 17:56:46 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0