Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
glossary:topology:induced [08.01.2011 06:10:12] Ладилова Анна |
glossary:topology:induced [09.01.2011 14:56:46] (текущий) Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Индуцированная топология ====== | ====== Индуцированная топология ====== | ||
- | ===== Описание ===== | + | <wrap hide>проверено</wrap> |
+ | ===== Определение ===== | ||
Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subset X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <latex>\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</latex> множества <latex> A </latex>. | Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subset X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <latex>\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</latex> множества <latex> A </latex>. | ||
Строка 6: | Строка 7: | ||
__Определение 1.__ Семейство подмножеств <latex>\tau_A</latex> называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <latex> A </latex>, а топологическое пространство <latex>(A,\tau_A)</latex> --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. | __Определение 1.__ Семейство подмножеств <latex>\tau_A</latex> называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <latex> A </latex>, а топологическое пространство <latex>(A,\tau_A)</latex> --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. | ||
+ | |||
+ | __Пример 1.__ Пусть задано топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex>. Индуцированной топологией на множестве <latex>\mathbb{N}</latex> является [[:glossary:topology|дискретная топология]]. | ||
__Предложение 2.__ Пусть <latex>(A,\tau_A)</latex> --- подпространство топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. Пусть, кроме того, <latex>G\subset A</latex>. Тогда <latex> G </latex> замкнуто в <latex>(A,\tau_A)</latex>, если и только если существует множество <latex> F </latex>, замкнутое в <latex>(X,\tau)</latex>, такое что <latex>G=F\cap A</latex>. | __Предложение 2.__ Пусть <latex>(A,\tau_A)</latex> --- подпространство топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. Пусть, кроме того, <latex>G\subset A</latex>. Тогда <latex> G </latex> замкнуто в <latex>(A,\tau_A)</latex>, если и только если существует множество <latex> F </latex>, замкнутое в <latex>(X,\tau)</latex>, такое что <latex>G=F\cap A</latex>. | ||
__Предложение 3.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>B\subset A\subset X</latex>. Тогда <latex>\tau_B=(\tau_A)_B</latex>. | __Предложение 3.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>B\subset A\subset X</latex>. Тогда <latex>\tau_B=(\tau_A)_B</latex>. | ||
- | ===== Примеры ===== | ||
- | * Пусть задано топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex>. Индуцированной топологией на множестве <latex>\mathbb{N}</latex> является [[:glossary:topology|дискретная топология]]. | ||
===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] |