Индуцированная топология

проверено

Определение

Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство, $A\subset X$ — непустое подмножество. Рассмотрим семейство подмножеств $\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}$ множества $ A $.

Предложение 1. Семейство подмножеств $\tau_A$ является топологией на $ A $.

Определение 1. Семейство подмножеств $\tau_A$ называется индуцированной топологией1) на $ A $, а топологическое пространство $(A,\tau_A)$подпространством2) топологического пространства $(X,\tau)$.

Пример 1. Пусть задано топологическое пространство $(\mathbb{R},\tau_U)$. Индуцированной топологией на множестве $\mathbb{N}$ является дискретная топология.

Предложение 2. Пусть $(A,\tau_A)$ — подпространство топологического пространства $(X,\tau)$. Пусть, кроме того, $G\subset A$. Тогда $ G $ замкнуто в $(A,\tau_A)$, если и только если существует множество $ F $, замкнутое в $(X,\tau)$, такое что $G=F\cap A$.

Предложение 3. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $B\subset A\subset X$. Тогда $\tau_B=(\tau_A)_B$.

Литература

1)
induced topology, subspace topology
2)
subspace
glossary/topology/induced.txt · Последние изменения: 09.01.2011 17:56:46 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0