Аксиомы отделимости

Пусть — топологическое пространство.

Определение 1. Говорят, что удовлетворяет аксиоме отделимости ¹⁾, или является колмогоровским пространством²⁾, если из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку:
.
В этом случае мы будем писать .

Определение 2. Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет первой аксиоме отделимости³⁾, если для любых двух различных точек <latex>a,b\in X</latex> существует окрестность точки <latex> a </latex>, не содержащая <latex> b </latex>:
<latex>(T_1)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau):U_a\not\ni b</latex>.
В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_1</latex>.

Определение 2. Говорят, что удовлетворяет первой аксиоме отделимости⁴⁾, если каждая точка всякой пары различных точек и топологического пространства имеет окрестность, не содержащую другую точку:
.
В этом случае мы будем писать .

Пример 1. Очевидно, что ; обратное, вообще говоря, не верно. Рассмотрим вещественную прямую с топологией , базу которой образуют интервалы . Пространство удовлетворяет аксиоме :
но не удовлетворяет аксиоме .

Определение 3. Говорят, что удовлетворяет второй аксиоме отделимости⁵⁾, или хаусдорфово⁶⁾, если любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями:
.
В этом случае мы будем писать .

Пример 2. Топологическое пространство с топологией Зарисского удовлетворяет аксиоме , но не является хаусдорфовым, так как любые две окрестности, лежащие в одной компоненте связности, пересекаются.

Определение 4. Говорят, что удовлетворяет третьей аксиоме отделимости⁷⁾, если у любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности:
.
В этом случае мы будем писать .

Определение 5. Говорят, что является регулярным топологическим пространством⁸⁾, если и .

Определение 6. Говорят, что удовлетворяет четвертой аксиоме отделимости⁹⁾, если у любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности:
.
В этом случае мы будем писать .

Определение 7. Говорят, что является нормальным топологическим пространством¹⁰⁾, если и .

Предложение 1. Всякое нормальное топологическое пространство является регулярным: .

Предложение 2. Всякое регулярное топологическое пространство является хаусдорфовым: .

Предложение 3. Всякое хаусдорфово топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости: .

Предложение 4 (Теорема Тихонова). Всякое регулярное топологическое пространство удовлетворяющее второй аксиоме счетности является нормальным.

Предложение 5. Топологическое пространство удовлетворяет аксиоме тогда и только тогда, когда каждая его точка замкнута: .

Предложение 6. Любое метрическое пространство является нормальным топологическим пространством.

Следствие 1. Любое метрическое пространство удовлетворяет всем аксиомам отделимости.

• Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
• Гудков Д.А. «Начала топологии», ч.2, ГГУ, 1982.
• Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
• Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.