Аксиомы отделимости

Описание

Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство.

Определение 1. Говорят, что $ X $ удовлетворяет аксиоме отделимости $T_0$1), или является колмогоровским пространством2), если из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку:
$(T_0)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})((\exists U_a\in\tau):(U_a\not\ni b)\vee((\exists U_b\in\tau):U_b\not\ni a)$.
В этом случае мы будем писать $X\in T_0$.

Определение 2. Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет первой аксиоме отделимости3), если для любых двух различных точек <latex>a,b\in X</latex> существует окрестность точки <latex> a </latex>, не содержащая <latex> b </latex>:
<latex>(T_1)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau):U_a\not\ni b</latex>.
В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_1</latex>.

Определение 2. Говорят, что $ X $ удовлетворяет первой аксиоме отделимости4), если каждая точка всякой пары различных точек $a$ и $b$ топологического пространства имеет окрестность, не содержащую другую точку:
$(T_1)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau):U_a\not\ni b$.
В этом случае мы будем писать $X\in T_1$.

Пример 1. Очевидно, что $(X\in T_1)\Rightarrow(X\in T_0)$; обратное, вообще говоря, не верно. Рассмотрим вещественную прямую $\mathbb{R}^1$ с топологией $\tau$, базу которой образуют интервалы $(x;+\infty)$. Пространство $(\mathbb{R}^1,\tau)$ удовлетворяет аксиоме $T_0$:
Пример 1 но не удовлетворяет аксиоме $T_1$.
Пример 2

Определение 3. Говорят, что $ X $ удовлетворяет второй аксиоме отделимости5), или хаусдорфово6), если любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями:
$(T_2)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau)(\exists U_b\in\tau):U_a\cap U_b=\varnothing$.
В этом случае мы будем писать $X\in T_2$.

Пример 2. Топологическое пространство $ X $ с топологией Зарисского удовлетворяет аксиоме $T_1$, но не является хаусдорфовым, так как любые две окрестности, лежащие в одной компоненте связности, пересекаются.

Определение 4. Говорят, что $ X $ удовлетворяет третьей аксиоме отделимости7), если у любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности:
$(T_3)\hskip 1cm(\forall F\in\mathcal{F})(\forall a\in X\backslash F)(\exists U_F\in\tau)(\exists U_a\in\tau):U_F\cap U_a=\varnothing$.
В этом случае мы будем писать $X\in T_3$.

Определение 5. Говорят, что $ X $ является регулярным топологическим пространством8), если $X\in T_1$ и $X\in T_3$.

Определение 6. Говорят, что $ X $ удовлетворяет четвертой аксиоме отделимости9), если у любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности:
$(T_4)\hskip 1cm(\forall F\in\mathcal{F})(\forall G\in\mathcal{F})(\exists U_F\in\tau)(\exists U_G\in\tau):F\cap G=\varnothing\Rightarrow U_F\cap U_G=\varnothing$.
В этом случае мы будем писать $X\in T_4$.

Определение 7. Говорят, что $ X $ является нормальным топологическим пространством10), если $X\in T_1$ и $X\in T_4$.

Предложение 1. Всякое нормальное топологическое пространство является регулярным: $(X\in T_1)\wedge(X\in T_4)\Rightarrow(X\in T_1)\wedge(X\in T_3)$.

Предложение 2. Всякое регулярное топологическое пространство является хаусдорфовым: $(X\in T_1)\wedge(X\in T_3)\Rightarrow(X\in T_2)$.

Предложение 3. Всякое хаусдорфово топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости: $(X\in T_2)\Rightarrow(x\in T_1)$.

Предложение 4 (Теорема Тихонова). Всякое регулярное топологическое пространство удовлетворяющее второй аксиоме счетности является нормальным.

Предложение 5. Топологическое пространство $(X,\tau)$ удовлетворяет аксиоме $T_1$ тогда и только тогда, когда каждая его точка замкнута: $X\in T_1\Leftrightarrow (\forall x\in X):\{x\}\in\mathcal{F}$.

Предложение 6. Любое метрическое пространство является нормальным топологическим пространством.

Следствие 1. Любое метрическое пространство удовлетворяет всем аксиомам отделимости.

Литература

1) T0 space
2) Kolmogorov space
3) , 4) T1 space
5) T2 space
6) Hausdorff space
7) T3 space
8) regular space
9) T4 space
10) normal space
glossary/topology/axiom/separation.txt · Последние изменения: 01.10.2013 23:33:10 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0