Ассоциированные простые идеалы

проверено

Определение

Пусть $R$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и $M$ — левый модуль над $R$ .

Определение 1. Говорят, что простой идеал $\rho\subset R$ ассоциирован¹⁾ с $M$ , если существует такой элемент $x\in M$ , что $\rho=\textrm{Ann}_R(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}$ . Через $\textrm{Ass}_R(M)$ обозначается множество простых идеалов, ассоциированных с модулем $M$ .

Пример 1. Пусть $R=\mathbb{C}[X_1,\ldots,X_n]$ — кольцо многочленов, $\rho$ — идеал в $R$ , $V$ — аффинное алгебраическое множество, соответствующее идеалу $\rho$ , $V_1,\ldots,V_p$ — неприводимые компоненты $V$ . Положим $M=R/\rho$ — аффинное координатное кольцо $V$ , тогда простые идеалы, ассоциированные с модулем $M$ — это идеалы неприводимых компонент $V_1,\ldots,V_p$ .

Предложение 1. Для любого простого идеала $\rho$ кольца $R$ и любого нетривиального подмодуля $M$ модуля $R/\rho$ имеет место равенство $\textrm{Ass}_R(M)=\{\rho\}$ .

Доказательство.

Пусть $0\neq\overline{x}\in M$ , то есть $\overline{x}=x\rho$ — смежный класс по идеалу $\rho$ , $x\not\in\rho$ . Очевидно, что $\rho\overline{x}=0$ .

Предположим, что $r\overline{x}=0$ . Это означает, что $rx\in\rho$ . Тогда из простоты $\rho$ следует, что $r\in\rho$ . Таким образом, единственный простой идеал, ассоциированный с $M$ — это $\rho$ .