Ассоциированные простые идеалы

проверено

Определение

Пусть $R$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и $M$левый модуль над $R$.

Определение 1. Говорят, что простой идеал $\rho\subset R$ ассоциирован1) с $M$, если существует такой элемент $x\in M$, что $\rho=\textrm{Ann}_R(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}$. Через $\textrm{Ass}_R(M)$ обозначается множество простых идеалов, ассоциированных с модулем $M$.

Пример 1. Пусть $R=\mathbb{C}[X_1,\ldots,X_n]$кольцо многочленов, $\rho$идеал в $ R $, $ V $аффинное алгебраическое множество, соответствующее идеалу $\rho$, $V_1,\ldots,V_p$неприводимые компоненты $ V $. Положим $M=R/\rho$аффинное координатное кольцо $ V $, тогда простые идеалы, ассоциированные с модулем $M$ — это идеалы неприводимых компонент $V_1,\ldots,V_p$.

Предложение 1. Для любого простого идеала $\rho$ кольца $R$ и любого нетривиального подмодуля $M$ модуля $R/\rho$ имеет место равенство $\textrm{Ass}_R(M)=\{\rho\}$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $0\neq\overline{x}\in M$, то есть $\overline{x}=x\rho$ — смежный класс по идеалу $\rho$, $x\not\in\rho$. Очевидно, что $\rho\overline{x}=0$.

Предположим, что $r\overline{x}=0$. Это означает, что $rx\in\rho$. Тогда из простоты $\rho$ следует, что $r\in\rho$. Таким образом, единственный простой идеал, ассоциированный с $M$ — это $\rho$.

Литература

1) associated with
glossary/ring/ideal/prime/associated.txt · Последние изменения: 07.10.2011 20:56:16 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0