Артиново кольцо
Артиново слева кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Определение 1. Кольцо называется артиновым слева1), если любое непустое множество его левых идеалов имеет минимальный элемент.
Предложение 1. Кольцо является артиновым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет условию обрыва убывающих цепочек: любая убывающая цепочка левых идеалов обрывается, то есть .
Предложение 2. Если кольцо артиново слева, то кольцо также артиново слева.
Предложение 3. Гомоморфный образ артинова слева кольца артинов слева.
Предложение 4. Прямая сумма конечного числа артиновых слева колец артинова слева.
Теорема 1. Если кольцо артиново слева, то — нильпотентный идеал.
Следствие 1. Если кольцо артиново слева, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
Артиново справа кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Определение 1. Кольцо называется артиновым справа3), если любое непустое множество его правых идеалов имеет минимальный элемент.
Предложение 1. Кольцо является артиновым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет условию обрыва убывающих цепочек: любая убывающая цепочка правых идеалов обрывается, то есть .
Пример 1. Пусть . тогда артиново справа, но не артиново слева.
Предложение 2. Если кольцо артиново справа, то кольцо также артиново справа.
Теорема 1. Если кольцо артиново справа, то — нильпотентный идеал.
Следствие 1. Если кольцо артиново справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
Артиново кольцо
Определение 1. Кольцо называется артиновым, если оно одновременно артиново слева и артиново справа.
Пример 2. Любое тело артиново (как слева так и справа).
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.