Артиново кольцо

Артиново слева кольцо

Пусть $R$ассоциативное кольцо.

Определение 1. Кольцо $R$ называется артиновым слева1), если любое непустое множество его левых идеалов имеет минимальный элемент.

Предложение 1. Кольцо $R$ является артиновым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет условию обрыва убывающих цепочек: любая убывающая цепочка левых идеалов $\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots$ обрывается, то есть $(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $R$ артиново и $\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots$ — убывающая цепочка левых идеалов, тогда множество $\{\rho_i\}$ имеет минимальный элемент $\rho_m$ для некоторого $m\in\mathbb{N}$. Последнее означает, что если $\rho_m\supseteq\rho_i$, то $\rho_i=\rho_m$. Но $\rho_m\supseteq\rho_i$ для всех $i\geqslant m$. Поэтому эта цепочка левых идеалов обрывается.

Обратно, пусть любая убывающая цепочка левых идеалов $\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots$ обрывается. Идеал $\rho=\underset{i\in\mathbb{N}}{\cap}\rho_i$ является нижней гранью множества $\{\rho_i\}$, $\rho_i\supseteq\rho$. Таким образом любое непустое множество левых идеалов кольца $R$ индуктивно упорядочено, а значит, обладает минимальным элементом по лемме Цорна. $\blacksquare$

Предложение 2. Если кольцо $ R $ артиново слева, то кольцо $\textrm{Mat}_n(R)$ также артиново слева.

Предложение 3. Гомоморфный образ артинова слева кольца артинов слева.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $\varphi\colon R\rightarrow S$ — гомоморфизм колец. Можно считать, что $\varphi$ — эпиморфизм. Пусть $R$ артиново слева. Произвольной убывающей цепочке левых идеалов $\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots$ из $S$ соответствует цепочка $\varphi^{-1}(\rho_1)\supseteq\varphi^{-1}(\rho_2)\supseteq\ldots\supseteq\varphi^{-1}(\rho_m)\supseteq\ldots$ левых идеалов в $R$. По предложению 1 она обрывается, то есть $\varphi^{-1}(\rho_m)=\varphi^{-1}(\rho_i)$ для всех $i\geqslant m$. Но тогда их образы равны: $\rho_m=\rho_i$ для всех $i\geqslant m$. $\blacksquare$

Предложение 4. Прямая сумма конечного числа артиновых слева колец артинова слева.

Теорема 1. Если кольцо $R$ артиново слева, то $J(R)$нильпотентный идеал.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $R$ артиново слева, тогда, в частности, убывающая цепочка идеалов $J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq\ldots$ обрывается, то есть $J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}$. Покажем, что $J(R)^m=(0)$.

Рассмотрим множество $W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}$. Это двусторонний идеал в $R$, так как $x_1+x_2\in W$ для $x_1,x_2\in W$, $J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0$ и $J(R)^mxy=0$ для $x\in W$.

Предположим, что $W\not\supseteq J(R)^m$. При канонической проекции $\pi\colon R\rightarrow R/W$ образ $J(R)^m$ отличен от нуля. По предложению 3 кольцо $R/W$ артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал $\overline{\rho}$, $J(R)^m\supseteq\overline{\rho}$. В силу минимальности $\overline{\rho}$ либо неприводимый $R/W$-модуль, либо $(R/W)\overline{\rho}=0$.

Если $\overline{\rho}$ неприводим, то $\pi(J(R))$ по определению содержится в аннуляторе $\overline{\rho}$, то есть $\pi(J(R))\overline{\rho}=0$. В любом случае $\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0$. Переходя к прообразам и обозначая $\rho=\pi^{-1}(\overline{\rho})$, заключаем, что $J(R)^m\rho\subseteq W$, то есть $J(R)^m\rho=J(R)^{2m}\rho=J(R)^mJ(R)^m\rho\subseteq J(R)^mW=0$. Следовательно, $\rho\subseteq W$, или $\overline{\rho}=0$, что противоречит предположению. Таким образом, случай $W\not\supseteq J(R)^m$ невозможен.

Если $W\supseteq J(R)^m$, то $0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m$, то есть $J(R)^m=0$, что и требовалось. $\blacksquare$

Следствие 1. Если кольцо $R$ артиново слева, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Любой ниль-идеал ассоциативного кольца содержится в радикале Джекобсона $J(R)$2), поэтому он также нильпотентен. $\blacksquare$

Артиново справа кольцо

Пусть $ R $ассоциативное кольцо.

Определение 1. Кольцо $ R $ называется артиновым справа3), если любое непустое множество его правых идеалов имеет минимальный элемент.

Предложение 1. Кольцо $ R $ является артиновым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет условию обрыва убывающих цепочек: любая убывающая цепочка правых идеалов $\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots$ обрывается, то есть $(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m$.

Пример 1. Пусть $R=\Big\{\begin{pmatrix}\alpha&0\\\beta&0\end{pmatrix}\Big\vert\alpha,\beta\in\mathbb{Q}\Big\}\subset\textrm{Mat}_2(\mathbb{Q})$. тогда $ R $ артиново справа, но не артиново слева.

Предложение 2. Если кольцо $ R $ артиново справа, то кольцо $\textrm{Mat}_n(R)$ также артиново справа.

Теорема 1. Если кольцо $ R $ артиново справа, то $J(R)$ — нильпотентный идеал.

Следствие 1. Если кольцо $ R $ артиново справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.

Артиново кольцо

Определение 1. Кольцо называется артиновым, если оно одновременно артиново слева и артиново справа.

Пример 2. Любое тело артиново (как слева так и справа).

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) left artinian
3) right artinian
glossary/ring/artinian.txt · Последние изменения: 12.10.2011 00:09:58 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0