Полное поле

Описание

Пусть $F$ — поле.

Определение 1. Абсолютным значением¹⁾ $v$ на $F$ называется вещественнозначная функция $x\mapsto\lvert x\rvert_v$ на $F$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\lvert x\rvert_v\geqslant 0$ для всех $x\in F$ , причем $\lvert x\rvert_v=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$ ;
$\lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v$ для всех $x,y\in F$ ;
$\lvert x+y\rvert_v\leqslant\lvert x\rvert_v+\lvert y\rvert_v$ .

Определение 2. Нормированием²⁾ $v$ на $F$ называется вещественнозначная функция $x\mapsto\lvert x\rvert_v$ на $F$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\lvert x\rvert_v\geqslant 0$ для всех $x\in F$ , причем $\lvert x\rvert_v=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$ ;
$\lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v$ для всех $x,y\in F$ ;
$\lvert x+y\rvert_v\leqslant\max{(\lvert x\rvert_v,~\lvert y\rvert_v)}$ .

Определение 3. Абсолютное значение, для которого $\lvert x\rvert_v=1$ при любом ненулевом $x\in F$ , называется тривиальным³⁾.

Абсолютное значение $v$ на $F$ определяет метрику, расстояние в которой между точками $x$ и $y$ из $F$ равно $\lvert x-y\rvert_v$ .

Определение 4. Поле $F$ будем называть полным⁴⁾, если оно полно как метрическое пространство $(F,v)$ .

Примеры

Функция на поле действительных чисел $\mathbb{R}$ , ставящая в соответствие числу $x\in\mathbb{R}$ его модуль $\lvert x\rvert$ является абсолютным значением на $\mathbb{R}$ .
Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с абсолютным значением $x\mapsto\lvert x\rvert$ не является полным, так как в нем существует последовательность $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$ , сходящаяся к иррациональному числу.
Поле действительных $\mathbb{R}$ с абсолютным значением $x\mapsto\lvert x\rvert$ является полным.