Полное поле

Описание

Пусть $ F $поле.

Определение 1. Абсолютным значением1) $ v $ на $ F $ называется вещественнозначная функция $x\mapsto\lvert x\rvert_v$ на $ F $, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. $\lvert x\rvert_v\geqslant 0$ для всех $x\in F$, причем $\lvert x\rvert_v=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$;
  2. $\lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v$ для всех $x,y\in F$;
  3. $\lvert x+y\rvert_v\leqslant\lvert x\rvert_v+\lvert y\rvert_v$.

Определение 2. Нормированием2) $ v $ на $ F $ называется вещественнозначная функция $x\mapsto\lvert x\rvert_v$ на $ F $, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. $\lvert x\rvert_v\geqslant 0$ для всех $x\in F$, причем $\lvert x\rvert_v=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$;
  2. $\lvert xy\rvert_v=\lvert x\rvert_v\lvert y\rvert_v$ для всех $x,y\in F$;
  3. $\lvert x+y\rvert_v\leqslant\max{(\lvert x\rvert_v,~\lvert y\rvert_v)}$.

Определение 3. Абсолютное значение, для которого $\lvert x\rvert_v=1$ при любом ненулевом $x\in F$, называется тривиальным3).

Абсолютное значение $ v $ на $ F $ определяет метрику, расстояние в которой между точками $ x $ и $ y $ из $ F $ равно $\lvert x-y\rvert_v$.

Определение 4. Поле $ F $ будем называть полным4), если оно полно как метрическое пространство $(F,v)$.

Примеры

  • Функция на поле действительных чисел $\mathbb{R}$, ставящая в соответствие числу $x\in\mathbb{R}$ его модуль $\lvert x\rvert$ является абсолютным значением на $\mathbb{R}$.
  • Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с абсолютным значением $x\mapsto\lvert x\rvert$ не является полным, так как в нем существует последовательность $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$, сходящаяся к иррациональному числу.
  • Поле действительных $\mathbb{R}$ с абсолютным значением $x\mapsto\lvert x\rvert$ является полным.

Литература

1) absolute value
2) valuation
3) trivial
4) complete field
glossary/field/complete.txt · Последние изменения: 08.01.2011 07:44:41 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0