Содержание
Полное поле
Описание
Пусть — поле.
Определение 1. Абсолютным значением1) на
называется вещественнозначная функция
на
, удовлетворяющая следующим условиям:
для всех
, причем
тогда и только тогда, когда
;
для всех
;
.
Определение 2. Нормированием2) на
называется вещественнозначная функция
на
, удовлетворяющая следующим условиям:
для всех
, причем
тогда и только тогда, когда
;
для всех
;
.
Определение 3. Абсолютное значение, для которого при любом ненулевом
, называется тривиальным3).
Абсолютное значение на
определяет метрику, расстояние в которой между точками
и
из
равно
.
Определение 4. Поле будем называть полным4), если оно полно как метрическое пространство
.
Примеры
- Функция на поле действительных чисел
, ставящая в соответствие числу
его модуль
является абсолютным значением на
.
- Поле рациональных чисел
с абсолютным значением
не является полным, так как в нем существует последовательность
, сходящаяся к иррациональному числу.
- Поле действительных
с абсолютным значением
является полным.