Определение 1. Алгебраическое расширение поля действительных чисел с помощью элемента , являющегося корнем многочлена , называется полем комплексных чисел1). Поле комплексных чисел обозначается через .
Предложение 1. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над полем , изоморфно полю .
Теорема 1.(Основная теорема алгебры.) Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Ниже приведено несколько реализаций поля комплексных чисел.
Определение 2. Полем комплексных чисел называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел . При этом каждая такая пара называется комплексным числом2). Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости . Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу
для всех ,
и определим операцию умножения:
для всех .
Предложение 1. Множество является полем.
Нулевым элементом в поле является пара , а единичным — пара . Противоположный элемент для — это , а обратным для ненулевого является .
Определение 3. Пусть — корень уравнения . Полем комплексных чисел называется множество объектов вида , где , со следующими операциями сложения и умножения:
Число называется мнимой единицей3).
Это определение легко получается из предыдущего, если элементы обозначать через , а элемент — через . Тогда произвольное комплексное число запишется в виде . Так как , то мнимая единица является корнем уравнения .
Определение 4. Модулем4) комплексного числа называется неотрицательное вещественное число , равное расстоянию от начала координат до точки в комплексной плоскости.
Определение 5. Аргументом5) комплексного числа называется угол между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на точку . Для числа аргумент не определен.
Замечание 1. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если при равных модулях аргументы отличаются на значение, кратное , то они определяют одно и то же комплексное число.
Определение 6. Обозначив , получим запись комплексного числа в виде . Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа.
Предложение 2. Модуль произведения комплексных чисел и равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов этих чисел:
Аналогично,
Предложение 3. (Формула Муавра.) Для всех целых справедлива формула
.
Предложение 4. Для любого комплексного числа существует корень -й степени, то есть такое число , что . Все значений корня -й степени из описываются формулой
.
Следствие 1. Корни -й степени из выражаются формулой
.
Они расположены в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса .