Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Задача 1. Решить систему линейных уравнений

$\begin{cases}2x_1+2x_2-x_3+x_4 & =4;\\ 4x_1+3x_2-x_3+2x_4 & =6;\\ 8x_1+5x_2-3x_3+4x_4 & =12;\\ 3x_1+3x_2-2x_3+2x_4 & =6.\end{cases}$

Решение. Согласно правилу Крамера, если определитель системы $\Delta$ ненулевой, то система имеет единственное решение, определенное формулами:

$x_1=\dfrac{\Delta_1}{\Delta}, x_2=\dfrac{\Delta_2}{\Delta},\ x_3=\dfrac{\Delta_3}{\Delta},\ x_4=\dfrac{\Delta_4}{\Delta}$.

  1. Найдем $\Delta$, раскладывая определитель по двум первым строкам (см. теорему Лапласа):
    $\Delta=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}$$=-2\cdot1\cdot2+2\cdot(-1)\cdot(-2)+0+$$1\cdot1\cdot4+1\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot9=2$.
  2. Найдем определитель $\Delta_1$, который получается из $\Delta$ заменой первого столбца на столбец свободных членов:
    $\Delta_1=\begin{vmatrix}4 & 2 & -1 & 1\\ 6 & 3 & -1 & 2\\ 12 & 5 & -3 & 4\\ 6 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 2\\ 6 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}12 & -3\\6 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}12 & 5\\6 & 3\end{vmatrix}$$=0+2\cdot(-1)\cdot(-2)+2\cdot1\cdot(-1)+$$0+1\cdot(-1)\cdot(-6)+(-1)\cdot1\cdot6=2$.
  3. Найдем определитель $\Delta_2$, который получается из $\Delta$ заменой второго столбца на столбец свободных членов:
    $\Delta_2=\begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 1\\ 4 & 6 & -1 & 2\\ 8 & 12 & -3 & 4\\ 3 & 6 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}12 & -3\\6 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}$$=-4\cdot1\cdot2+0+0+$$2\cdot1\cdot4+2\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot12=2$.
  4. Найдем определитель $\Delta_3$, который получается из $\Delta$ заменой третьего столбца на столбец свободных членов:
    $\Delta_3=\begin{vmatrix}2 & 2 & 4 & 1\\ 4 & 3 & 6 & 2\\ 8 & 5 & 12 & 4\\ 3 & 3 & 6 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 3 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}$$=0+(-4)\cdot(-1)\cdot(-2)+0+$$0+1\cdot(-1)\cdot(12)+2\cdot1\cdot9=-2$.
  5. Найдем $\Delta_4$, который получается из $\Delta$ заменой последнего столбца на столбец свободных членов:
    $\Delta_4=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 4\\ 4 & 3 & -1 & 6\\ 8 & 5 & -3 & 12\\ 3 & 3 & -2 & 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 12\\-2 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 3 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 4\\ -1 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}$$=-2\cdot1\cdot6+2\cdot(-1)\cdot(-6)+(-4)\cdot1\cdot(-1)+$$1\cdot1\cdot12+0+(-2)\cdot1\cdot9=-2$.

Таким образом, $x_1=2/2=1$, $x_2=2/2=1$, $x_3=-2/2=-1$, $x_4=-2/2=-1$.

,
solved/algebra/linear/systems.txt · Последние изменения: 02.01.2012 21:44:58 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0