Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:topology:presheaf [16.01.2015 13:19:17]
Ладилова Анна
glossary:topology:presheaf [16.01.2015 13:20:55] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 16: Строка 16:
 __Замечание 1.__ Пусть <​latex>​\mathcal{T}(X)</​latex>​ [[:​glossary:​category|категория]],​ объекты которой --- множества <​latex>​U\in\tau</​latex>,​ а морфизмы <​latex>​\textrm{Hom}(V,​U)</​latex>​ --- отображения вложения. Тогда предпучок --- это [[:​glossary:​category:​functor|контравариантный функтор]] из категории <​latex>​\mathcal{T}(X)</​latex>​ в [[::​glossary:​category:​group:​commutative|категорию]] <​latex>​\mathcal{A}</​latex>​ [[:​glossary:​category:​group:​commutative|абелевых групп]] ([[:​glossary:​category:​ring|колец]],​ [[:​glossary:​category:​algebra|алгебр]]). __Замечание 1.__ Пусть <​latex>​\mathcal{T}(X)</​latex>​ [[:​glossary:​category|категория]],​ объекты которой --- множества <​latex>​U\in\tau</​latex>,​ а морфизмы <​latex>​\textrm{Hom}(V,​U)</​latex>​ --- отображения вложения. Тогда предпучок --- это [[:​glossary:​category:​functor|контравариантный функтор]] из категории <​latex>​\mathcal{T}(X)</​latex>​ в [[::​glossary:​category:​group:​commutative|категорию]] <​latex>​\mathcal{A}</​latex>​ [[:​glossary:​category:​group:​commutative|абелевых групп]] ([[:​glossary:​category:​ring|колец]],​ [[:​glossary:​category:​algebra|алгебр]]).
 ===== Структурный предпучок ===== ===== Структурный предпучок =====
-__Пример 3.__ Пусть <​latex>​A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​element:​zero-divisor#​область_целостности|целостное кольцо]]. Обозначим через <​latex>​K</​latex>​ его [[:​glossary:​field:​quotient|поле частных]]. Кольцу <​latex>​A</​latex>​ соответствует топологическое пространство <​latex>​\textrm{Spec}~A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​spectrum|простой спектр кольца]]. Для каждого открытого подмножества <​latex>​U\subseteq\textrm{Spec}~A</​latex>​ определим множество <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ таких элементов <​latex>​u\in K</​latex>,​ что в каждой точке <​latex>​x\in U</​latex>​ существует представление <​latex>​u=\frac{a}{b}</​latex>,​ где <​latex>​b(x)\neq 0</​latex>​((или,​ что то же самое, <​latex>​b\not\in x</​latex>​)). Из построения <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ немедленно следует,​ что это кольцо,​ содержащееся в <​latex>​K</​latex>​. Кроме того, если <​latex>​V\subset U</​latex>,​ то <​latex>​\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)</​latex>​ --- естественное вложение. Легко видеть,​ что набор колец <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на <​latex>​\textrm{Spec}~A</​latex>​. ​Это частный случай [[:​glossary:​ring:​spectrum#​пучок_колец_на_простом_спектре|структурного предпучка]] для целостного кольца. +__Пример 3.__ Пусть <​latex>​A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​element:​zero-divisor#​область_целостности|целостное кольцо]]. Обозначим через <​latex>​K</​latex>​ его [[:​glossary:​field:​quotient|поле частных]]. Кольцу <​latex>​A</​latex>​ соответствует топологическое пространство <​latex>​\textrm{Spec}~A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​spectrum|простой спектр кольца]]. Для каждого открытого подмножества <​latex>​U\subseteq\textrm{Spec}~A</​latex>​ определим множество <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ таких элементов <​latex>​u\in K</​latex>,​ что в каждой точке <​latex>​x\in U</​latex>​ существует представление <​latex>​u=\frac{a}{b}</​latex>,​ где <​latex>​b(x)\neq 0</​latex>​((или,​ что то же самое, <​latex>​b\not\in x</​latex>​)). Из построения <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ немедленно следует,​ что это кольцо,​ содержащееся в <​latex>​K</​latex>​. Кроме того, если <​latex>​V\subset U</​latex>,​ то <​latex>​\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)</​latex>​ --- естественное вложение. Легко видеть,​ что набор колец <​latex>​\mathcal{O}(U)</​latex>​ вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на <​latex>​\textrm{Spec}~A</​latex>​.
 ===== См. также ===== ===== См. также =====
   * [[:​glossary:​topology:​sheaf:​morphism|Морфизм пучков]]   * [[:​glossary:​topology:​sheaf:​morphism|Морфизм пучков]]
glossary/topology/presheaf.txt · Последние изменения: 16.01.2015 13:20:55 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0