Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:module:induced [16.03.2013 06:06:46] Ладилова Анна |
glossary:module:induced [16.03.2013 06:16:23] (текущий) Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Индуцированный модуль ====== | ====== Индуцированный модуль ====== | ||
| ===== Определение ===== | ===== Определение ===== | ||
| - | Пусть <latex>L</latex> --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>, <latex>H</latex> --- подалгебра в <latex>L</latex>, <latex>W</latex> --- произвольный [[:glossary:algebra:lie:module:left|левый]] <latex>H</latex>[[:glossary:algebra:lie:module:left|-модуль]]. <latex>\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>\mathcal{U}(H)</latex> --- [[:glossary:algebra:universal:enveloping|универсальные обертывающие алгебры]] для <latex>L</latex> и <latex>H</latex> соответственно. | + | Пусть <latex>L</latex> --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>, <latex>H</latex> --- [[:glossary:algebra|подалгебра]] в <latex>L</latex>, <latex>W</latex> --- произвольный [[:glossary:algebra:lie:module:left|левый]] <latex>H</latex>[[:glossary:algebra:lie:module:left|-модуль]]. <latex>\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>\mathcal{U}(H)</latex> --- [[:glossary:algebra:universal:enveloping|универсальные обертывающие алгебры]] для <latex>L</latex> и <latex>H</latex> соответственно. |
| __Определение 1.__ [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_ассоциативным_кольцом|Тензорное произведение]](( Оно определено, так как <latex>\mathcal{U}(L)</latex> можно рассматривать как [[:glossary:module#правый_модуль|правый ]]<latex>\mathcal{U}(H)</latex>[[:glossary:module#правый_модуль|-модуль]].)) <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> называется <latex>L</latex>-**модулем, индуцированным** <latex>H</latex>-**модулем** <latex>W</latex>((induced module)) и обозначается символом <latex>\textrm{ind}_H(W,L)</latex>. Индуцированный модуль <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> наделен структурой <latex>\mathcal{U}(L)</latex>-модуля по правилу: <WRAP centeralign><latex>u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w</latex>, где <latex>u,x\in\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>w\in W</latex>.</WRAP> | __Определение 1.__ [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_ассоциативным_кольцом|Тензорное произведение]](( Оно определено, так как <latex>\mathcal{U}(L)</latex> можно рассматривать как [[:glossary:module#правый_модуль|правый ]]<latex>\mathcal{U}(H)</latex>[[:glossary:module#правый_модуль|-модуль]].)) <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> называется <latex>L</latex>-**модулем, индуцированным** <latex>H</latex>-**модулем** <latex>W</latex>((induced module)) и обозначается символом <latex>\textrm{ind}_H(W,L)</latex>. Индуцированный модуль <latex>\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W</latex> наделен структурой <latex>\mathcal{U}(L)</latex>-модуля по правилу: <WRAP centeralign><latex>u\cdot(x\otimes w)=ux\otimes w</latex>, где <latex>u,x\in\mathcal{U}(L)</latex> и <latex>w\in W</latex>.</WRAP> | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
| __Предложение 1.__ Пусть <latex>W</latex> --- левый <latex>H</latex>-модуль. Для произвольного левого <latex>L</latex>-модуля <latex>V</latex> и гомоморфизма левых <latex>H</latex>-модулей <latex>\psi\colon W\rightarrow V</latex> существует единственный гомоморфизм <latex>L</latex>-модулей <latex>\varphi\colon\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W\rightarrow V</latex>, продолжающий <latex>\psi</latex>. То есть коммутативна диаграмма | __Предложение 1.__ Пусть <latex>W</latex> --- левый <latex>H</latex>-модуль. Для произвольного левого <latex>L</latex>-модуля <latex>V</latex> и гомоморфизма левых <latex>H</latex>-модулей <latex>\psi\colon W\rightarrow V</latex> существует единственный гомоморфизм <latex>L</latex>-модулей <latex>\varphi\colon\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W\rightarrow V</latex>, продолжающий <latex>\psi</latex>. То есть коммутативна диаграмма | ||
| <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node[2]{W}\arrow[2]{e,t}{\psi}\arrow[2]{s}\node[2]{V}\\ \\ \node[2]{\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W}\arrow[2]{ne,r}{\phi}\end{diagram}</latex>.</WRAP> | <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node[2]{W}\arrow[2]{e,t}{\psi}\arrow[2]{s}\node[2]{V}\\ \\ \node[2]{\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W}\arrow[2]{ne,r}{\phi}\end{diagram}</latex>.</WRAP> | ||
| - | Отображение <latex>\psi\mapsto\varphi</latex> задает [[:glossary:mapping#виды_отображений|биекцию]] множества <latex>\textrm{Hom}_{H}(W,V)</latex> на множество <latex>\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)</latex>. | + | Отображение <latex>\psi\mapsto\varphi</latex> задает [[:glossary:mapping#виды_отображений|биекцию]]((Это отображение можно рассматривать как изоморфизм векторных пространств над полем <latex>F</latex>. Обратите внимание, что <latex>\textrm{Hom}_{H}(W,V)</latex> --- это <latex>H</latex>-модуль, а <latex>\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)</latex> --- <latex>L</latex>-модуль.)) множества <latex>\textrm{Hom}_{H}(W,V)</latex> на множество <latex>\textrm{Hom}_{L}(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W,V)</latex>. |
| - | __Замечание.__ Это ни что иное, как свойство универсальности тензорного произведения. | + | __Замечание 1.__ Предложение 1 --- ни что иное, как свойство универсальности тензорного произведения. |
| ===== Свойства индуцированных модулей ===== | ===== Свойства индуцированных модулей ===== | ||
| __Предложение 2.__ Пусть <latex>W</latex> --- левый <latex>H</latex>-модуль и <latex>W'</latex> --- его <latex>H</latex>-подмодуль. Тогда | __Предложение 2.__ Пусть <latex>W</latex> --- левый <latex>H</latex>-модуль и <latex>W'</latex> --- его <latex>H</latex>-подмодуль. Тогда | ||
